Theorem uzdisj 9873

Description: The first 𝑁 elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzdisj	⊢ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅

Proof of Theorem uzdisj

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
2	1	simprbi 273	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3		eluzle 9338	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑘)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑘)
5		eluzel2 9331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		eluzelz 9335	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9		zlem1lt 9110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
10	6, 8, 9	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
11	4, 10	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 − 1) < 𝑘)
12	1	simplbi 272	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
13		elfzle2 9808	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
15	8	zred 9173	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
16		peano2zm 9092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17	6, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18	17	zred 9173	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
19	15, 18	lenltd 7880	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 𝑘))
20	14, 19	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑘)
21	11, 20	pm2.21dd 609	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ∅)
22	21	ssriv 3101	. 2 ⊢ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ∅
23		ss0 3403	. 2 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ∅ → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅)
24	22, 23	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  1c1 7621   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  2prm  11808