Theorem uzid 9333

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9051	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8269	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 321	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 166	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118   ≤ cle 7794  ℤcz 9047  ℤ_≥cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-neg 7929  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by:  uzn0  9334  uz11  9341  eluzfz1  9804  eluzfz2  9805  elfz3  9807  elfz1end  9828  fzssp1  9840  fzpred  9843  fzp1ss  9846  fzpr  9850  fztp  9851  elfz0add  9893  fzolb  9923  zpnn0elfzo  9977  fzosplitsnm1  9979  fzofzp1  9997  fzosplitsn  10003  fzostep1  10007  frec2uzuzd  10168  frecuzrdgrrn  10174  frec2uzrdg  10175  frecuzrdgrcl  10176  frecuzrdgsuc  10180  frecuzrdgrclt  10181  frecuzrdgg  10182  frecuzrdgsuctlem  10189  uzsinds  10208  seq3val  10224  seqvalcd  10225  seq3-1  10226  seqf  10227  seq3p1  10228  seq3fveq  10237  seq3-1p  10246  seq3caopr3  10247  iseqf1olemjpcl  10261  iseqf1olemqpcl  10262  seq3f1oleml  10269  seq3f1o  10270  seq3homo  10276  faclbnd3  10482  bcm1k  10499  bcn2  10503  seq3coll  10578  rexuz3  10755  r19.2uz  10758  resqrexlemcvg  10784  resqrexlemgt0  10785  resqrexlemoverl  10786  cau3lem  10879  caubnd2  10882  climconst  11052  climuni  11055  climcau  11109  serf0  11114  fsumparts  11232  isum1p  11254  isumrpcl  11256  cvgratz  11294  mertenslemi1  11297  ntrivcvgap0  11311  eftlub  11385  zsupcllemstep  11627  zsupcllemex  11628  ialgr0  11714  eucalg  11729  pw2dvds  11833  ennnfonelem1  11909  lmconst  12374  cvgcmp2nlemabs  13216  trilpolemlt1  13223