Theorem uzid 8485

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8247	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 7504	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 306	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 8475	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 156	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902   ≤ cle 7059  ℤcz 8243  ℤ_≥cuz 8471

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-pre-ltirr 6994

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-neg 7183  df-z 8244  df-uz 8472

This theorem is referenced by:  uzn0  8486  uz11  8493  eluzfz1  8893  eluzfz2  8894  elfz3  8896  elfz1end  8917  fzssp1  8928  fzpred  8930  fzp1ss  8933  fzpr  8937  fztp  8938  elfz0add  8977  fzolb  9007  zpnn0elfzo  9061  fzosplitsnm1  9063  fzofzp1  9081  fzosplitsn  9087  fzostep1  9091  frec2uzuzd  9186  frecuzrdgrrn  9192  frec2uzrdg  9193  frecuzrdgrom  9194  iseqfn  9219  iseq1  9220  iseqcl  9221  iseqp1  9223  iseqfveq  9228  iseq1p  9237  iseqcaopr3  9238  iseqhomo  9246  rexuz3  9586  r19.2uz  9589  resqrexlemcvg  9615  resqrexlemgt0  9616  resqrexlemoverl  9617  cau3lem  9708  caubnd2  9711  climconst  9809  climuni  9812  climcau  9864  serif0  9869  ialgr0  9881