Theorem uzid 8703

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8425	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 7671	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 316	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 8693	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 165	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3787  ‘cfv 4926   ≤ cle 7205  ℤcz 8421  ℤ_≥cuz 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-pre-ltirr 7139

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-ov 5540  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-neg 7338  df-z 8422  df-uz 8690

This theorem is referenced by:  uzn0  8704  uz11  8711  eluzfz1  9115  eluzfz2  9116  elfz3  9118  elfz1end  9139  fzssp1  9150  fzpred  9152  fzp1ss  9155  fzpr  9159  fztp  9160  elfz0add  9200  fzolb  9228  zpnn0elfzo  9282  fzosplitsnm1  9284  fzofzp1  9302  fzosplitsn  9308  fzostep1  9312  frec2uzuzd  9473  frecuzrdgrrn  9479  frec2uzrdg  9480  frecuzrdgrcl  9481  frecuzrdgsuc  9485  frecuzrdgrclt  9486  frecuzrdgg  9487  frecuzrdgsuctlem  9494  uzsinds  9507  iseqvalt  9521  iseq1  9522  iseq1t  9523  iseqfcl  9524  iseqfclt  9525  iseqcl  9526  iseqp1  9527  iseqp1t  9528  iseqfveq  9535  iseq1p  9544  iseqcaopr3  9545  iseqhomo  9554  faclbnd3  9756  bcm1k  9773  bcn2  9777  rexuz3  10003  r19.2uz  10006  resqrexlemcvg  10032  resqrexlemgt0  10033  resqrexlemoverl  10034  cau3lem  10127  caubnd2  10130  climconst  10256  climuni  10259  climcau  10311  serif0  10316  zsupcllemstep  10474  zsupcllemex  10475  ialgr0  10559  eucialg  10574  pw2dvds  10677