ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin GIF version

Theorem uzin 8721
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 8710 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
2 uzss 8709 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
3 sseqin2 3186 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀) ↔ ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑁))
42, 3sylib 120 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑁))
5 eluzle 8701 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
6 iftrue 3358 . . . . . 6 (𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
75, 6syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
87fveq2d 5207 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ𝑁))
94, 8eqtr4d 2117 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10 uzss 8709 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑀) ⊆ (ℤ𝑁))
11 df-ss 2987 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ⊆ (ℤ𝑁) ↔ ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑀))
1210, 11sylib 120 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑀))
13 eluzel2 8694 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
14 eluzelz 8698 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 zre 8425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16 zre 8425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
17 letri3 7248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
1815, 16, 17syl2an 283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
1913, 14, 18syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
20 eluzle 8701 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
2120biantrurd 299 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
2219, 21bitr4d 189 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 = 𝑀𝑀𝑁))
2322biimprcd 158 . . . . . . . 8 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 = 𝑀))
246eqeq1d 2090 . . . . . . . 8 (𝑀𝑁 → (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀𝑁 = 𝑀))
2523, 24sylibrd 167 . . . . . . 7 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
2625com12 30 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
27 iffalse 3361 . . . . . . 7 𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
2827a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (¬ 𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
29 zdcle 8494 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀𝑁)
3014, 13, 29syl2anc 403 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → DECID 𝑀𝑁)
31 df-dc 777 . . . . . . 7 (DECID 𝑀𝑁 ↔ (𝑀𝑁 ∨ ¬ 𝑀𝑁))
3230, 31sylib 120 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑀𝑁 ∨ ¬ 𝑀𝑁))
3326, 28, 32mpjaod 671 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
3433fveq2d 5207 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ𝑀))
3512, 34eqtr4d 2117 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
369, 35jaoi 669 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
371, 36syl 14 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  cin 2973  wss 2974  ifcif 3353   class class class wbr 3787  cfv 4926  cr 7031  cle 7205  cz 8421  cuz 8689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690
This theorem is referenced by:  uzin2  10000
  Copyright terms: Public domain W3C validator