ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzind GIF version

Theorem uzind 8407
Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzind.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind.5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind.6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 8305 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 7579 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
3 uzind.5 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
42, 3jca 294 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀𝑀𝜓))
54ancli 310 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝜓)))
6 breq2 3795 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑀 → (𝑀𝑗𝑀𝑀))
7 uzind.1 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
86, 7anbi12d 450 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑀𝜓)))
98elrab 2720 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝜓)))
105, 9sylibr 141 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
11 peano2z 8337 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
1211a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
1312adantrd 268 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
14 zre 8305 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
15 ltp1 7884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
1615adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17 peano2re 7209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
1817ancli 310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
19 lelttr 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20193expb 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2118, 20sylan2 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2216, 21mpan2d 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
23 ltle 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2417, 23sylan2 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2522, 24syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
261, 14, 25syl2an 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2726adantrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝜒) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2827expimpd 349 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29 uzind.6 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝜒𝜃))
30293exp 1114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑀𝑘 → (𝜒𝜃))))
3130imp4d 338 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → 𝜃))
3228, 31jcad 295 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
3313, 32jcad 295 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃))))
34 breq2 3795 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀𝑗𝑀𝑘))
35 uzind.2 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
3634, 35anbi12d 450 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑘𝜒)))
3736elrab 2720 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)))
38 breq2 3795 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑗𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39 uzind.3 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
4038, 39anbi12d 450 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
4140elrab 2720 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
4233, 37, 413imtr4g 198 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
4342ralrimiv 2408 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
44 peano5uzti 8404 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
4510, 43, 44mp2and 417 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
4645sseld 2971 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
47 breq2 3795 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝑀𝑤𝑀𝑁))
4847elrab 2720 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
49 breq2 3795 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀𝑗𝑀𝑁))
50 uzind.4 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
5149, 50anbi12d 450 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑁𝜏)))
5251elrab 2720 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏)))
5346, 48, 523imtr3g 197 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏))))
54533impib 1113 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏)))
5554simprd 111 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀𝑁𝜏))
5655simprd 111 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  {crab 2327  wss 2944   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  cr 6945  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118  cle 7119  cz 8301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302
This theorem is referenced by:  uzind2  8408  uzind3  8409  nn0ind  8410  fzind  8411  resqrexlemdecn  9831  ialgcvga  10245
  Copyright terms: Public domain W3C validator