Theorem uzind2 8379

Description: Induction on the upper integers that start after an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind2.1	⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind2.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind2.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind2.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind2.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind2.6	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltp1le 8326	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2		peano2z 8308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3		uzind2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	imbi2d 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)))
5		uzind2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
6	5	imbi2d 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜒)))
7		uzind2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
8	7	imbi2d 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜃)))
9		uzind2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10	9	imbi2d 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏)))
11		uzind2.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓))
13		zltp1le 8326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
14		uzind2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))
15	14	3expia 1115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑘 → (𝜒 → 𝜃)))
16	13, 15	sylbird 163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃)))
17	16	ex 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃))))
18	17	com3l 79	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
19	18	imp 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃)))
20	19	3adant1 931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃)))
21	20	a2d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜒) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜃)))
22	4, 6, 8, 10, 12, 21	uzind 8378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))
23	22	3exp 1112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))))
24	2, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))))
25	24	com34 81	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝜏))))
26	25	pm2.43a 49	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝜏)))
27	26	imp 119	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝜏))
28	1, 27	sylbid 143	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝜏))
29	28	3impia 1110	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∧ w3a 894   = wceq 1257   ∈ wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  1c1 6918   + caddc 6920   < clt 7089   ≤ cle 7090  ℤcz 8272

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-ltadd 7028

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-inn 7961  df-n0 8210  df-z 8273

This theorem is referenced by: (None)