ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uztrn2 GIF version

Theorem uztrn2 8586
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
uztrn2.1 𝑍 = (ℤ𝐾)
Assertion
Ref Expression
uztrn2 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑍)

Proof of Theorem uztrn2
StepHypRef Expression
1 uztrn2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝐾)
21eleq2i 2120 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
3 uztrn 8585 . . . 4 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
43ancoms 259 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
52, 4sylanb 272 . 2 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
65, 1syl6eleqr 2147 1 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑍)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  cfv 4930  cuz 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltwlin 7055
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-fv 4938  df-ov 5543  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-neg 7248  df-z 8303  df-uz 8570
This theorem is referenced by:  eluznn0  8633  eluznn  8634  elfzuz2  8995  rexuz3  9817  r19.29uz  9819  r19.2uz  9820  clim2  10035  clim2c  10036  clim0c  10038  2clim  10053  climabs0  10059  climcn1  10060  climcn2  10061  climsqz  10086  climsqz2  10087  clim2iser  10088  clim2iser2  10089  climub  10095  serif0  10102
  Copyright terms: Public domain W3C validator