Theorem velsn 3423

Description: There is only one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
velsn	⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Proof of Theorem velsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2605	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elsn 3422	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  {csn 3406

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-sn 3412

This theorem is referenced by:  dfpr2  3425  mosn  3437  ralsnsg  3438  ralsns  3439  rexsns  3440  disjsn  3462  snprc  3465  euabsn2  3469  prmg  3519  snss  3524  difprsnss  3532  eqsnm  3555  snsssn  3561  snsspw  3564  dfnfc2  3627  uni0b  3634  uni0c  3635  sndisj  3789  unidif0  3949  rext  3978  exss  3990  frirrg  4113  ordsucim  4252  ordtriexmidlem  4271  ordtri2or2exmidlem  4277  onsucelsucexmidlem  4280  elirr  4292  sucprcreg  4300  fconstmpt  4413  opeliunxp  4421  dmsnopg  4822  dfmpt3  5052  nfunsn  5239  fsn  5367  fnasrn  5373  fnasrng  5375  fconstfvm  5411  eusvobj2  5529  opabex3d  5779  opabex3  5780  nndifsnid  6146  ecexr  6177  xpsnen  6365  fidifsnen  6405  fidifsnid  6406  iccid  9024  fzsn  9160  fzpr  9170  fzdifsuc  9174  1nprm  10640