Theorem wetrep 4144

Description: An epsilon well-ordering is a transitive relation. (Contributed by NM, 22-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
wetrep	⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem wetrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 922	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
2		df-wetr 4118	. . . . . . . . 9 ⊢ ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧)))
3	2	simprbi 269	. . . . . . . 8 ⊢ ( E We 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
4	3	r19.21bi 2455	. . . . . . 7 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
5	4	r19.21bi 2455	. . . . . 6 ⊢ ((( E We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
6	5	anasss 391	. . . . 5 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
7	6	r19.21bi 2455	. . . 4 ⊢ ((( E We 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
8	7	anasss 391	. . 3 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
9	1, 8	sylan2b 281	. 2 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
10		epel 4076	. . 3 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
11		epel 4076	. . 3 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
12	10, 11	anbi12i 448	. 2 ⊢ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
13		epel 4076	. 2 ⊢ (𝑥 E 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧)
14	9, 12, 13	3imtr3g 202	1 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 920   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353   class class class wbr 3806   E cep 4071   Fr wfr 4112   We wwe 4114

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-v 2613  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-br 3807  df-opab 3861  df-eprel 4073  df-wetr 4118

This theorem is referenced by:  wessep  4349