ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  wetrep GIF version

Theorem wetrep 4124
Description: An epsilon well-ordering is a transitive relation. (Contributed by NM, 22-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
wetrep (( E We 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem wetrep
StepHypRef Expression
1 df-3an 898 . . 3 ((𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴))
2 df-wetr 4098 . . . . . . . . 9 ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧)))
32simprbi 264 . . . . . . . 8 ( E We 𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
43r19.21bi 2424 . . . . . . 7 (( E We 𝐴𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
54r19.21bi 2424 . . . . . 6 ((( E We 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
65anasss 385 . . . . 5 (( E We 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
76r19.21bi 2424 . . . 4 ((( E We 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
87anasss 385 . . 3 (( E We 𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
91, 8sylan2b 275 . 2 (( E We 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
10 epel 4056 . . 3 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
11 epel 4056 . . 3 (𝑦 E 𝑧𝑦𝑧)
1210, 11anbi12i 441 . 2 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑧))
13 epel 4056 . 2 (𝑥 E 𝑧𝑥𝑧)
149, 12, 133imtr3g 197 1 (( E We 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896  wcel 1409  wral 2323   class class class wbr 3791   E cep 4051   Fr wfr 4092   We wwe 4094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-br 3792  df-opab 3846  df-eprel 4053  df-wetr 4098
This theorem is referenced by:  wessep  4329
  Copyright terms: Public domain W3C validator