Theorem xnegcl 8515

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	⊢ (A ∈ ℝ* → -𝑒A ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 8466	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ* ↔ (A ∈ ℝ ∨ A = +∞ ∨ A = -∞))
2		rexneg 8513	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → -𝑒A = -A)
3		renegcl 7068	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → -A ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2111	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ → -𝑒A ∈ ℝ)
5	4	rexrd 6872	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → -𝑒A ∈ ℝ*)
6		xnegeq 8510	. . . 4 ⊢ (A = +∞ → -𝑒A = -𝑒+∞)
7		xnegpnf 8511	. . . . 5 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
8		mnfxr 8464	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	7, 8	eqeltri 2107	. . . 4 ⊢ -𝑒+∞ ∈ ℝ*
10	6, 9	syl6eqel 2125	. . 3 ⊢ (A = +∞ → -𝑒A ∈ ℝ*)
11		xnegeq 8510	. . . 4 ⊢ (A = -∞ → -𝑒A = -𝑒-∞)
12		xnegmnf 8512	. . . . 5 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
13		pnfxr 8462	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	12, 13	eqeltri 2107	. . . 4 ⊢ -𝑒-∞ ∈ ℝ*
15	11, 14	syl6eqel 2125	. . 3 ⊢ (A = -∞ → -𝑒A ∈ ℝ*)
16	5, 10, 15	3jaoi 1197	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∨ A = +∞ ∨ A = -∞) → -𝑒A ∈ ℝ*)
17	1, 16	sylbi 114	1 ⊢ (A ∈ ℝ* → -𝑒A ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 883   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ℝcr 6710  +∞cpnf 6854  -∞cmnf 6855  ℝ^*cxr 6856  -cneg 6980  -_𝑒cxne 8456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-sub 6981  df-neg 6982  df-xneg 8459

This theorem is referenced by:  xltneg  8519  xleneg  8520  xnegcld  8525