ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegcl GIF version

Theorem xnegcl 8688
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 8639 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 8686 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 renegcl 7227 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
42, 3eqeltrd 2114 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
54rexrd 7031 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6 xnegeq 8683 . . . 4 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
7 xnegpnf 8684 . . . . 5 -𝑒+∞ = -∞
8 mnfxr 8637 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
97, 8eqeltri 2110 . . . 4 -𝑒+∞ ∈ ℝ*
106, 9syl6eqel 2128 . . 3 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11 xnegeq 8683 . . . 4 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
12 xnegmnf 8685 . . . . 5 -𝑒-∞ = +∞
13 pnfxr 8635 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1412, 13eqeltri 2110 . . . 4 -𝑒-∞ ∈ ℝ*
1511, 14syl6eqel 2128 . . 3 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
165, 10, 153jaoi 1198 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
171, 16sylbi 114 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 884   = wceq 1243  wcel 1393  cr 6845  +∞cpnf 7013  -∞cmnf 7014  *cxr 7015  -cneg 7139  -𝑒cxne 8629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-addcom 6941  ax-addass 6943  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-cnre 6952
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-if 3329  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-opab 3816  df-id 4027  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-sub 7140  df-neg 7141  df-xneg 8632
This theorem is referenced by:  xltneg  8692  xleneg  8693  xnegcld  8698
  Copyright terms: Public domain W3C validator