Theorem xnegcl 9608

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9556	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 9606	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		renegcl 8016	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2214	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 7808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6		xnegeq 9603	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
7		xnegpnf 9604	. . . . 5 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
8		mnfxr 7815	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	7, 8	eqeltri 2210	. . . 4 ⊢ -𝑒+∞ ∈ ℝ*
10	6, 9	eqeltrdi 2228	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11		xnegeq 9603	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
12		xnegmnf 9605	. . . . 5 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
13		pnfxr 7811	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	12, 13	eqeltri 2210	. . . 4 ⊢ -𝑒-∞ ∈ ℝ*
15	11, 14	eqeltrdi 2228	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
16	5, 10, 15	3jaoi 1281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
17	1, 16	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 961   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ℝcr 7612  +∞cpnf 7790  -∞cmnf 7791  ℝ^*cxr 7792  -cneg 7927  -_𝑒cxne 9549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-sub 7928  df-neg 7929  df-xneg 9552

This theorem is referenced by:  xltneg  9612  xleneg  9613  xnegcld  9631  xnegdi  9644  xaddass2  9646  xleadd1  9651  xsubge0  9657  xrnegiso  11024  xrminmax  11027  xrmincl  11028  xrmin1inf  11029  xrmin2inf  11030  xrlemininf  11033  xrminltinf  11034