ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegcl GIF version

Theorem xnegcl 8515
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl (A * → -𝑒A *)

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 8466 . 2 (A * ↔ (A A = +∞ A = -∞))
2 rexneg 8513 . . . . 5 (A ℝ → -𝑒A = -A)
3 renegcl 7068 . . . . 5 (A ℝ → -A ℝ)
42, 3eqeltrd 2111 . . . 4 (A ℝ → -𝑒A ℝ)
54rexrd 6872 . . 3 (A ℝ → -𝑒A *)
6 xnegeq 8510 . . . 4 (A = +∞ → -𝑒A = -𝑒+∞)
7 xnegpnf 8511 . . . . 5 -𝑒+∞ = -∞
8 mnfxr 8464 . . . . 5 -∞ *
97, 8eqeltri 2107 . . . 4 -𝑒+∞ *
106, 9syl6eqel 2125 . . 3 (A = +∞ → -𝑒A *)
11 xnegeq 8510 . . . 4 (A = -∞ → -𝑒A = -𝑒-∞)
12 xnegmnf 8512 . . . . 5 -𝑒-∞ = +∞
13 pnfxr 8462 . . . . 5 +∞ *
1412, 13eqeltri 2107 . . . 4 -𝑒-∞ *
1511, 14syl6eqel 2125 . . 3 (A = -∞ → -𝑒A *)
165, 10, 153jaoi 1197 . 2 ((A A = +∞ A = -∞) → -𝑒A *)
171, 16sylbi 114 1 (A * → -𝑒A *)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390  cr 6710  +∞cpnf 6854  -∞cmnf 6855  *cxr 6856  -cneg 6980  -𝑒cxne 8456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-sub 6981  df-neg 6982  df-xneg 8459
This theorem is referenced by:  xltneg  8519  xleneg  8520  xnegcld  8525
  Copyright terms: Public domain W3C validator