ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnn0nemnf GIF version

Theorem xnn0nemnf 9019
Description: No extended nonnegative integer equals negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0nemnf (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xnn0nemnf
StepHypRef Expression
1 elxnn0 9010 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 nn0re 8954 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
32renemnfd 7785 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ≠ -∞)
4 pnfnemnf 7788 . . . 4 +∞ ≠ -∞
5 neeq1 2298 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
64, 5mpbiri 167 . . 3 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
73, 6jaoi 690 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
81, 7sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 682   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  +∞cpnf 7765  -∞cmnf 7766  0cn0 8945  0*cxnn0 9008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1re 7682  ax-addrcl 7685  ax-rnegex 7697
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-int 3742  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-inn 8689  df-n0 8946  df-xnn0 9009
This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator