ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xp1en GIF version

Theorem xp1en 6327
Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xp1en (𝐴𝑉 → (𝐴 × 1𝑜) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem xp1en
StepHypRef Expression
1 df1o2 6043 . . 3 1𝑜 = {∅}
21xpeq2i 4393 . 2 (𝐴 × 1𝑜) = (𝐴 × {∅})
3 0ex 3911 . . 3 ∅ ∈ V
4 xpsneng 6326 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
53, 4mpan2 409 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
62, 5syl5eqbr 3824 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 1𝑜) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  Vcvv 2574  c0 3251  {csn 3402   class class class wbr 3791   × cxp 4370  1𝑜c1o 6024  cen 6249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-suc 4135  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-1o 6031  df-en 6252
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator