ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrletr GIF version

Theorem xrletr 8825
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrletr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem xrletr
StepHypRef Expression
1 xrltso 8818 . . . . . 6 < Or ℝ*
2 sowlin 4085 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
31, 2mpan 408 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
433coml 1122 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
5 orcom 657 . . . 4 ((𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵))
64, 5syl6ib 154 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
76con3d 571 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < 𝐴))
8 xrlenlt 7143 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
983adant3 935 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
10 xrlenlt 7143 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
11103adant1 933 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
129, 11anbi12d 450 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
13 ioran 679 . . 3 (¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
1412, 13syl6bbr 191 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ ¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
15 xrlenlt 7143 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
16153adant2 934 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
177, 14, 163imtr4d 196 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896  wcel 1409   class class class wbr 3792   Or wor 4060  *cxr 7118   < clt 7119  cle 7120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-po 4061  df-iso 4062  df-xp 4379  df-cnv 4381  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125
This theorem is referenced by:  xrletrd  8829  icc0r  8896  iccss  8911  icossico  8913  iccss2  8914  iccssico  8915
  Copyright terms: Public domain W3C validator