ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrre GIF version

Theorem xrre 9015
Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrre (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 simprl 498 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → -∞ < 𝐴)
2 ltpnf 8984 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
32adantl 271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
4 rexr 7278 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 7285 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
6 xrlelttr 9004 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
75, 6mp3an3 1258 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
84, 7sylan2 280 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
93, 8mpan2d 419 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 < +∞))
109imp 122 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 < +∞)
1110adantrl 462 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 < +∞)
12 xrrebnd 9014 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1312ad2antrr 472 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
141, 11, 13mpbir2and 886 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3805  cr 7094  +∞cpnf 7264  -∞cmnf 7265  *cxr 7266   < clt 7267  cle 7268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-cnv 4399  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273
This theorem is referenced by:  xrrege0  9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator