ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrrebnd GIF version

Theorem xrrebnd 8833
Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrrebnd (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd
StepHypRef Expression
1 elxr 8797 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 id 19 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 mnflt 8805 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
4 ltpnf 8803 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
53, 4jca 294 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
62, 52thd 168 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
7 renepnf 7132 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
87necon2bi 2275 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
9 pnfxr 8793 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
10 xrltnr 8802 . . . . . . 7 (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
119, 10ax-mp 7 . . . . . 6 ¬ +∞ < +∞
12 breq1 3795 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
1311, 12mtbiri 610 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞)
1413intnand 851 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
158, 142falsed 628 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
16 renemnf 7133 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
1716necon2bi 2275 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
18 mnfxr 8795 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
19 xrltnr 8802 . . . . . . 7 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
2018, 19ax-mp 7 . . . . . 6 ¬ -∞ < -∞
21 breq2 3796 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
2220, 21mtbiri 610 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
2322intnanrd 852 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
2417, 232falsed 628 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
256, 15, 243jaoi 1209 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
261, 25sylbi 118 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  w3o 895   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3792  cr 6946  +∞cpnf 7116  -∞cmnf 7117  *cxr 7118   < clt 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltirr 7054
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124
This theorem is referenced by:  xrre  8834  xrre2  8835  xrre3  8836  elioc2  8906  elico2  8907  elicc2  8908
  Copyright terms: Public domain W3C validator