ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zaddcl GIF version

Theorem zaddcl 8472
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zaddcl ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl
StepHypRef Expression
1 elz 8434 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
21simprbi 269 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
32adantl 271 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
4 zcn 8437 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
54adantr 270 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
65addid1d 7324 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
7 simpl 107 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
86, 7eqeltrd 2156 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) ∈ ℤ)
9 oveq2 5551 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
109eleq1d 2148 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 0) ∈ ℤ))
118, 10syl5ibrcom 155 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
12 zaddcllempos 8469 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
1312ex 113 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
1413adantr 270 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
15 zre 8436 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16 zaddcllemneg 8471 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
17163expia 1141 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
1815, 17sylan2 280 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
1911, 14, 183jaod 1236 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
203, 19mpd 13 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3o 919   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5543  cc 7041  cr 7042  0cc0 7043   + caddc 7046  -cneg 7347  cn 8106  cz 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433
This theorem is referenced by:  zsubcl  8473  zrevaddcl  8482  zdivadd  8517  zaddcld  8554  eluzaddi  8726  eluzsubi  8727  eluzadd  8728  nn0pzuz  8756  fzen  9138  fzaddel  9153  fzrev3  9180  fzrevral3  9200  elfzmlbp  9220  fzoaddel  9278  zpnn0elfzo  9293  elfzomelpfzo  9317  fzoshftral  9324  climshftlemg  10279  summodnegmod  10371  dvds2ln  10373  dvds2add  10374  dvdsadd  10383  dvdsadd2b  10387  addmodlteqALT  10404  3dvdsdec  10409  3dvds2dec  10410  opoe  10439  opeo  10441  ndvdsadd  10475
  Copyright terms: Public domain W3C validator