ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdceq GIF version

Theorem zdceq 8374
Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zdceq ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem zdceq
StepHypRef Expression
1 ztri3or 8345 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2 zre 8306 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 ltne 7162 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
43necomd 2306 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
5 olc 642 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
6 dcne 2231 . . . . . . . 8 (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
75, 6sylibr 141 . . . . . . 7 (𝐴𝐵DECID 𝐴 = 𝐵)
84, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
98ex 112 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
109adantr 265 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
112, 10sylan 271 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
12 orc 643 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1312, 6sylibr 141 . . . 4 (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵)
1413a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
15 zre 8306 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
16 ltne 7162 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴𝐵)
1716, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
1817ex 112 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
1915, 18syl 14 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
2019adantl 266 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
2111, 14, 203jaod 1210 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
221, 21mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wo 639  DECID wdc 753  w3o 895   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220   class class class wbr 3792  cr 6946   < clt 7119  cz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303
This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  8378  nn0lt2  8380  prime  8396  elnn1uz2  8641  expival  9422  dvdsdc  10116  dvdsabseq  10159  alzdvds  10166  fzo0dvdseq  10169  nn0seqcvgd  10263  algcvgblem  10271
  Copyright terms: Public domain W3C validator