Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zfregfr GIF version

Theorem zfregfr 4326
 Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
zfregfr E Fr 𝐴

Proof of Theorem zfregfr
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-frind 4097 . 2 ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑠 FrFor E 𝐴𝑠)
2 bi2.04 241 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠)))
32albii 1375 . . . . . 6 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠)))
4 df-ral 2328 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠)))
53, 4bitr4i 180 . . . . 5 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠))
6 sbim 1843 . . . . . . . . . . 11 ([𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝑥𝐴 → [𝑦 / 𝑥]𝑥𝑠))
7 clelsb3 2158 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑦 / 𝑥]𝑥𝐴𝑦𝐴)
8 clelsb3 2158 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑦 / 𝑥]𝑥𝑠𝑦𝑠)
97, 8imbi12i 232 . . . . . . . . . . 11 (([𝑦 / 𝑥]𝑥𝐴 → [𝑦 / 𝑥]𝑥𝑠) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑠))
106, 9bitri 177 . . . . . . . . . 10 ([𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑠))
1110ralbii 2347 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴𝑦𝑠))
12 ralcom3 2494 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴𝑦𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥𝑦𝑠))
1311, 12bitri 177 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥𝑦𝑠))
14 epel 4057 . . . . . . . . . 10 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑥)
1514imbi1i 231 . . . . . . . . 9 ((𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) ↔ (𝑦𝑥𝑦𝑠))
1615ralbii 2347 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥𝑦𝑠))
1713, 16bitr4i 180 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠))
1817imbi1i 231 . . . . . 6 ((∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠))
1918ralbii 2347 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠))
205, 19bitri 177 . . . 4 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠))
21 ax-setind 4290 . . . . 5 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) → ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑠))
22 dfss2 2962 . . . . 5 (𝐴𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑠))
2321, 22sylibr 141 . . . 4 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) → 𝐴𝑠)
2420, 23sylbir 129 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠)
25 df-frfor 4096 . . 3 ( FrFor E 𝐴𝑠 ↔ (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠))
2624, 25mpbir 138 . 2 FrFor E 𝐴𝑠
271, 26mpgbir 1358 1 E Fr 𝐴
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1257   ∈ wcel 1409  [wsb 1661  ∀wral 2323   ⊆ wss 2945   class class class wbr 3792   E cep 4052   FrFor wfrfor 4092   Fr wfr 4093 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-setind 4290 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-eprel 4054  df-frfor 4096  df-frind 4097 This theorem is referenced by:  ordfr  4327  wessep  4330  reg3exmidlemwe  4331
 Copyright terms: Public domain W3C validator