ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zfregfr GIF version

Theorem zfregfr 4458
Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
zfregfr E Fr 𝐴

Proof of Theorem zfregfr
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-frind 4224 . 2 ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑠 FrFor E 𝐴𝑠)
2 bi2.04 247 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠)))
32albii 1431 . . . . . 6 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠)))
4 df-ral 2398 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠)))
53, 4bitr4i 186 . . . . 5 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠))
6 sbim 1904 . . . . . . . . . . 11 ([𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝑥𝐴 → [𝑦 / 𝑥]𝑥𝑠))
7 clelsb3 2222 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑦 / 𝑥]𝑥𝐴𝑦𝐴)
8 clelsb3 2222 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑦 / 𝑥]𝑥𝑠𝑦𝑠)
97, 8imbi12i 238 . . . . . . . . . . 11 (([𝑦 / 𝑥]𝑥𝐴 → [𝑦 / 𝑥]𝑥𝑠) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑠))
106, 9bitri 183 . . . . . . . . . 10 ([𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑠))
1110ralbii 2418 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴𝑦𝑠))
12 ralcom3 2575 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴𝑦𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥𝑦𝑠))
1311, 12bitri 183 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥𝑦𝑠))
14 epel 4184 . . . . . . . . . 10 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑥)
1514imbi1i 237 . . . . . . . . 9 ((𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) ↔ (𝑦𝑥𝑦𝑠))
1615ralbii 2418 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥𝑦𝑠))
1713, 16bitr4i 186 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠))
1817imbi1i 237 . . . . . 6 ((∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠))
1918ralbii 2418 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠))
205, 19bitri 183 . . . 4 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠))
21 ax-setind 4422 . . . . 5 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) → ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑠))
22 dfss2 3056 . . . . 5 (𝐴𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑠))
2321, 22sylibr 133 . . . 4 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) → 𝐴𝑠)
2420, 23sylbir 134 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠)
25 df-frfor 4223 . . 3 ( FrFor E 𝐴𝑠 ↔ (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠))
2624, 25mpbir 145 . 2 FrFor E 𝐴𝑠
271, 26mpgbir 1414 1 E Fr 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wal 1314  wcel 1465  [wsb 1720  wral 2393  wss 3041   class class class wbr 3899   E cep 4179   FrFor wfrfor 4219   Fr wfr 4220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-eprel 4181  df-frfor 4223  df-frind 4224
This theorem is referenced by:  ordfr  4459  wessep  4462  reg3exmidlemwe  4463
  Copyright terms: Public domain W3C validator