ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zltnle GIF version

Theorem zltnle 9068
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zltnle ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem zltnle
StepHypRef Expression
1 zre 9026 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
2 zre 9026 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 lenlt 7808 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
41, 2, 3syl2anr 288 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
54biimpd 143 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
65con2d 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
7 ztri3or 9065 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
8 ax-1 6 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
98a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
10 eqcom 2119 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
11 eqle 7823 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵𝐴)
1210, 11sylan2b 285 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐴)
1312ex 114 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
1413adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
151, 14sylan2 284 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
16 pm2.24 595 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
1715, 16syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
18 ltle 7819 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
191, 2, 18syl2anr 288 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
2019, 16syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
219, 17, 203jaod 1267 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
227, 21mpd 13 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
236, 22impbid 128 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 946   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cr 7587   < clt 7768  cle 7769  cz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023
This theorem is referenced by:  znnnlt1  9070  nn0n0n1ge2b  9098  eluzdc  9372  fzdcel  9788  fzn  9790  fzpreddisj  9819  fzp1disj  9828  fzneuz  9849  fznuz  9850  uznfz  9851  fzp1nel  9852  difelfznle  9880  fzodisj  9923  exfzdc  9985  modfzo0difsn  10136  fzfig  10171  iseqf1olemqk  10235  exp3val  10263  facdiv  10452  bcval5  10477  zfz1isolemiso  10550  2zsupmax  10965  summodclem3  11117  alzdvds  11479  fzm1ndvds  11481  fzo0dvdseq  11482  n2dvds1  11536  dvdsbnd  11572  algcvgblem  11657  prmndvdsfaclt  11761  uzdcinzz  12932
  Copyright terms: Public domain W3C validator