ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zmodcl GIF version

Theorem zmodcl 9415
Description: Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
zmodcl ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem zmodcl
StepHypRef Expression
1 zq 8781 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
21adantr 270 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
3 nnq 8788 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℚ)
43adantl 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℚ)
5 nngt0 8120 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
65adantl 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
7 modqval 9395 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
82, 4, 6, 7syl3anc 1170 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
9 nnz 8440 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
109adantl 271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 znq 8779 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
1211flqcld 9348 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
1310, 12zmulcld 8545 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℤ)
14 zsubcl 8462 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℤ) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) ∈ ℤ)
1513, 14syldan 276 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) ∈ ℤ)
168, 15eqeltrd 2156 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ)
17 modqge0 9403 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
182, 4, 6, 17syl3anc 1170 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
19 elnn0z 8434 . 2 ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵)))
2016, 18, 19sylanbrc 408 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3787  cfv 4926  (class class class)co 5537  0cc0 7032   · cmul 7037   < clt 7204  cle 7205  cmin 7335   / cdiv 7816  cn 8095  0cn0 8344  cz 8421  cq 8774  cfl 9339   mod cmo 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-q 8775  df-rp 8805  df-fl 9341  df-mod 9394
This theorem is referenced by:  zmodcld  9416  zmodfz  9417  modaddmodup  9458  modaddmodlo  9459  divalglemnn  10451  divalgmod  10460  modgcd  10515  eucalgf  10570  eucalginv  10571
  Copyright terms: Public domain W3C validator