ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znegcl GIF version

Theorem znegcl 9053
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
znegcl (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl
StepHypRef Expression
1 elz 9024 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 negeq 7923 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3 neg0 7976 . . . . . 6 -0 = 0
42, 3syl6eq 2166 . . . . 5 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5 0z 9033 . . . . 5 0 ∈ ℤ
64, 5syl6eqel 2208 . . . 4 (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7 nnnegz 9025 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8 nnz 9041 . . . 4 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
96, 7, 83jaoi 1266 . . 3 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
109adantl 275 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
111, 10sylbi 120 1 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3o 946   = wceq 1316  wcel 1465  cr 7587  0cc0 7588  -cneg 7902  cn 8688  cz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-z 9023
This theorem is referenced by:  znegclb  9055  nn0negz  9056  peano2zm  9060  zsubcl  9063  zeo  9124  zindd  9137  znegcld  9143  uzneg  9312  qnegcl  9396  fzsubel  9808  fzosubel  9939  ceilid  10056  modqcyc2  10101  expsubap  10309  climshft  11041  negdvdsb  11436  dvdsnegb  11437  summodnegmod  11451  dvdssub  11465  odd2np1  11497  gcdneg  11597  neggcd  11598  gcdabs  11603  bezoutlemaz  11618  bezoutlembz  11619  lcmneg  11682  neglcm  11683  lcmabs  11684  sinperlem  12816  ex-fl  12864
  Copyright terms: Public domain W3C validator