ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zneo GIF version

Theorem zneo 9120
Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zneo ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ≠ ((2 · 𝐵) + 1))

Proof of Theorem zneo
StepHypRef Expression
1 halfnz 9115 . . 3 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 2cn 8759 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
3 zcn 9027 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 274 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 mulcl 7715 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
62, 4, 5sylancr 410 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7 zcn 9027 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
87adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 mulcl 7715 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
102, 8, 9sylancr 410 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
11 1cnd 7750 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
126, 10, 11subaddd 8059 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 ↔ ((2 · 𝐵) + 1) = (2 · 𝐴)))
132a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
1413, 4, 8subdid 8144 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · (𝐴𝐵)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)))
1514oveq1d 5757 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · (𝐴𝐵)) / 2) = (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2))
16 zsubcl 9063 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
17 zcn 9027 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
19 2ap0 8781 . . . . . . . . . 10 2 # 0
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 # 0)
2118, 13, 20divcanap3d 8523 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · (𝐴𝐵)) / 2) = (𝐴𝐵))
2215, 21eqtr3d 2152 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) = (𝐴𝐵))
2322, 16eqeltrd 2194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) ∈ ℤ)
24 oveq1 5749 . . . . . . 7 (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) = (1 / 2))
2524eleq1d 2186 . . . . . 6 (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → ((((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
2623, 25syl5ibcom 154 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
2712, 26sylbird 169 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐵) + 1) = (2 · 𝐴) → (1 / 2) ∈ ℤ))
2827necon3bd 2328 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → ((2 · 𝐵) + 1) ≠ (2 · 𝐴)))
291, 28mpi 15 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐵) + 1) ≠ (2 · 𝐴))
3029necomd 2371 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ≠ ((2 · 𝐵) + 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593  cmin 7901   # cap 8311   / cdiv 8400  2c2 8739  cz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-n0 8946  df-z 9023
This theorem is referenced by:  nneo  9122  zeo2  9125
  Copyright terms: Public domain W3C validator