ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znnen GIF version

Theorem znnen 10818
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnen ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unrab 3251 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
2 nnssz 8501 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℤ
3 dfss1 3186 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ)
42, 3mpbi 143 . . . . 5 (ℤ ∩ ℕ) = ℕ
5 dfin5 2989 . . . . 5 (ℤ ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
64, 5eqtr3i 2105 . . . 4 ℕ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
76uneq1i 3132 . . 3 (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
8 rabid2 2535 . . . 4 (ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
9 elznn 8500 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
109simprbi 269 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
118, 10mprgbir 2426 . . 3 ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
121, 7, 113eqtr4ri 2114 . 2 ℤ = (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
13 nnex 8164 . . . 4 ℕ ∈ V
1413enref 6333 . . 3 ℕ ≈ ℕ
15 zex 8493 . . . . . 6 ℤ ∈ V
1615rabex 3942 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∈ V
17 nn0ex 8413 . . . . 5 0 ∈ V
18 negeq 7420 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
1918eleq1d 2151 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ -𝑥 ∈ ℕ0))
2019elrab 2757 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0))
2120simprbi 269 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → -𝑥 ∈ ℕ0)
22 nn0negz 8518 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
23 nn0cn 8417 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
2423negnegd 7529 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 = 𝑦)
2524eleq1d 2151 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (--𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0))
2625ibir 175 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 ∈ ℕ0)
27 negeq 7420 . . . . . . . 8 (𝑧 = -𝑦 → -𝑧 = --𝑦)
2827eleq1d 2151 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑦 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ --𝑦 ∈ ℕ0))
2928elrab 2757 . . . . . 6 (-𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ↔ (-𝑦 ∈ ℤ ∧ --𝑦 ∈ ℕ0))
3022, 26, 29sylanbrc 408 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
31 elrabi 2754 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → 𝑥 ∈ ℤ)
3231adantr 270 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
3332zcnd 8603 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
3423adantl 271 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
35 negcon2 7480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3633, 34, 35syl2anc 403 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3716, 17, 21, 30, 36en3i 6339 . . . 4 {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ0
38 nn0ennn 9567 . . . 4 0 ≈ ℕ
3937, 38entri 6354 . . 3 {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ
40 inrab2 3253 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}
41 incom 3174 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
42 rabeq0 3290 . . . . 5 ({𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
43 0red 7234 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
44 simpl 107 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ)
4544nnred 8171 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℝ)
46 nngt0 8183 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
4746adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑧)
48 nn0ge0 8432 . . . . . . . . . 10 (-𝑧 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑧)
4948adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝑧)
5045le0neg1d 7737 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑧))
5149, 50mpbird 165 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 0)
5243, 45, 43, 47, 51ltletrd 7646 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 0)
5343ltnrd 7341 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ¬ 0 < 0)
5452, 53pm2.65da 620 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
5554, 4eleq2s 2177 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
5642, 55mprgbir 2426 . . . 4 {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅
5740, 41, 563eqtr3i 2111 . . 3 (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅
58 unennn 10817 . . 3 ((ℕ ≈ ℕ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ ∧ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅) → (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ)
5914, 39, 57, 58mp3an 1269 . 2 (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ
6012, 59eqbrtri 3824 1 ℤ ≈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  {crab 2357  cun 2980  cin 2981  wss 2982  c0 3267   class class class wbr 3805  cen 6306  cc 7093  cr 7094  0cc0 7095   < clt 7267  cle 7268  -cneg 7399  cn 8158  0cn0 8407  cz 8484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-er 6193  df-en 6309  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838  df-rp 8868  df-fl 9404  df-mod 9457  df-dvds 10404
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator