Theorem zq 9411

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
2	1	div1d 8533	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
3	2	eqeq2d 2149	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
4		eqcom 2139	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
5	3, 4	syl6rbbr 198	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 8724	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2149	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2784	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 420	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	syl6bi 162	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2525	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2461	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9407	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 200	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2415  (class class class)co 5767  1c1 7614   / cdiv 8425  ℕcn 8713  ℤcz 9047  ℚcq 9404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-z 9048  df-q 9405

This theorem is referenced by:  zssq  9412  qdivcl  9428  irrmul  9432  qbtwnz  10022  qbtwnxr  10028  flqlt  10049  flid  10050  flqltnz  10053  flqbi2  10057  flqaddz  10063  flqmulnn0  10065  ceilid  10081  flqeqceilz  10084  flqdiv  10087  modqcl  10092  mulqmod0  10096  modqfrac  10103  zmod10  10106  modqmulnn  10108  zmodcl  10110  zmodfz  10112  zmodid2  10118  q0mod  10121  q1mod  10122  modqcyc  10125  mulp1mod1  10131  modqmuladd  10132  modqmuladdim  10133  modqmuladdnn0  10134  m1modnnsub1  10136  addmodid  10138  modqm1p1mod0  10141  modqltm1p1mod  10142  modqmul1  10143  modqmul12d  10144  q2txmodxeq0  10150  modifeq2int  10152  modaddmodup  10153  modaddmodlo  10154  modqaddmulmod  10157  modqdi  10158  modqsubdir  10159  modsumfzodifsn  10162  addmodlteq  10164  qexpcl  10302  qexpclz  10307  iexpcyc  10390  facavg  10485  bcval  10488  qabsor  10840  modfsummodlemstep  11219  egt2lt3  11475  dvdsval3  11486  moddvds  11491  absdvdsb  11500  dvdsabsb  11501  dvdslelemd  11530  dvdsmod  11549  mulmoddvds  11550  divalglemnn  11604  divalgmod  11613  fldivndvdslt  11621  gcdabs  11665  gcdabs1  11666  modgcd  11668  bezoutlemnewy  11673  bezoutlemstep  11674  eucalglt  11727  lcmabs  11746  sqrt2irraplemnn  11846  nn0sqrtelqelz  11873  crth  11889  phimullem  11890