HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem 0.999... 10657
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. , is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree.
Assertion
Ref Expression
0.999...

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 10re 8848 . . . . . . 7
21recni 8152 . . . . . 6
3 nnnn0 8981 . . . . . 6
4 expcl 9846 . . . . . 6
52, 3, 4sylancr 639 . . . . 5
62a1i 10 . . . . . 6
7 10pos 8859 . . . . . . . 8
81, 7gt0ne0ii 8454 . . . . . . 7
98a1i 10 . . . . . 6
10 nnz 9046 . . . . . 6
11 expne0i 9859 . . . . . 6
126, 9, 10, 11syl3anc 1145 . . . . 5
13 9re 8847 . . . . . . 7
1413recni 8152 . . . . . 6
15 divrec 8573 . . . . . 6
1614, 15mp3an1 1227 . . . . 5
175, 12, 16syl2anc 637 . . . 4
18 exprec 9868 . . . . . 6
196, 9, 10, 18syl3anc 1145 . . . . 5
2019oveq2d 5309 . . . 4
2117, 20eqtr4d 2125 . . 3
2221sumeq2i 10508 . 2
231, 8rereccli 8633 . . . 4
2423recni 8152 . . 3
25 0re 8173 . . . . . 6
261, 7recgt0ii 8648 . . . . . 6
2725, 23, 26ltleii 8242 . . . . 5
2823absidi 10267 . . . . 5
2927, 28ax-mp 8 . . . 4
30 1lt10 8948 . . . . 5
31 recgt1 8725 . . . . . 6
321, 7, 31mp2an 648 . . . . 5
3330, 32mpbi 197 . . . 4
3429, 33eqbrtri 3610 . . 3
35 geoisum1c 10656 . . 3
3614, 24, 34, 35mp3an 1240 . 2
3714, 2, 8divreci 8571 . . . 4
3814, 2, 8divcan2i 8556 . . . . . 6
39 ax-1cn 8118 . . . . . . . 8
402, 39, 24subdii 8381 . . . . . . 7
412mulid1i 8166 . . . . . . . 8
422, 8recidi 8567 . . . . . . . 8
4341, 42oveq12i 5306 . . . . . . 7
4439, 14addcomi 8292 . . . . . . . . 9
45 df-10 8837 . . . . . . . . 9
4644, 45eqtr4i 2113 . . . . . . . 8
472, 39, 14, 46subaddrii 8333 . . . . . . 7
4840, 43, 473eqtrri 2115 . . . . . 6
4938, 48eqtri 2110 . . . . 5
5013, 1, 8redivcli 8630 . . . . . . 7
5150recni 8152 . . . . . 6
5239, 24subcli 8325 . . . . . 6
5351, 52, 2, 8mulcani 8529 . . . . 5
5449, 53mpbi 197 . . . 4
5537, 54oveq12i 5306 . . 3
56 9pos 8858 . . . . . 6
5713, 1, 56, 7divgt0ii 8690 . . . . 5
5850, 57gt0ne0ii 8454 . . . 4
5951, 58dividi 8597 . . 3
6055, 59eqtr3i 2112 . 2
6122, 36, 603eqtri 2114 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wb 174   wceq 1531   wcel 1533   wne 2207   class class class wbr 3591  cfv 4261  (class class class)co 5296  cc 8059  cr 8060  cc0 8061  c1 8062   caddc 8064   cmul 8066   cle 8174   clt 8178   cmin 8295   cdiv 8297  cn 8298  cn0 8299  cz 8300  c9 8827  c10 8828  cexp 9829  cabs 10183  csu 10494
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1446  ax-6 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-8 1535  ax-11 1536  ax-12 1537  ax-13 1538  ax-14 1539  ax-17 1542  ax-9 1563  ax-10 1591  ax-4 1605  ax-16 1790  ax-15 1958  ax-ext 2072  ax-rep 3677  ax-sep 3687  ax-nul 3696  ax-pow 3732  ax-pr 3756  ax-un 4049  ax-inf2 6755  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-icn 8119  ax-addcl 8120  ax-addrcl 8121  ax-mulcl 8122  ax-mulrcl 8123  ax-mulcom 8124  ax-addass 8125  ax-mulass 8126  ax-distr 8127  ax-i2m1 8128  ax-1ne0 8129  ax-1rid 8130  ax-rnegex 8131  ax-rrecex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-lttri 8134  ax-pre-lttrn 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137  ax-pre-sup 8138
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1264  df-ex 1451  df-sb 1751  df-eu 1984  df-mo 1985  df-clab 2078  df-cleq 2083  df-clel 2086  df-ne 2209  df-nel 2210  df-ral 2303  df-rex 2304  df-reu 2305  df-rab 2306  df-v 2502  df-sbc 2669  df-csb 2751  df-dif 2813  df-un 2815  df-in 2817  df-ss 2821  df-pss 2823  df-nul 3086  df-if 3195  df-pw 3256  df-sn 3274  df-pr 3275  df-tp 3276  df-op 3277  df-uni 3435  df-int 3469  df-iun 3511  df-br 3592  df-opab 3645  df-tr 3660  df-eprel 3844  df-id 3848  df-po 3853  df-so 3854  df-fr 3891  df-se 3892  df-we 3893  df-ord 3934  df-on 3935  df-lim 3936  df-suc 3937  df-om 4216  df-xp 4263  df-rel 4264  df-cnv 4265  df-co 4266  df-dm 4267  df-rn 4268  df-res 4269  df-ima 4270  df-fun 4271  df-fn 4272  df-f 4273  df-f1 4274  df-fo 4275  df-f1o 4276  df-fv 4277  df-iso 4278  df-ov 5298  df-oprab 5299  df-mpt 5461  df-mpt2 5462  df-1st 5613  df-2nd 5614  df-iota 5740  df-recs 5814  df-rdg 5849  df-1o 5903  df-oadd 5907  df-er 6076  df-map 6171  df-pm 6172  df-en 6249  df-dom 6250  df-sdom 6251  df-fin 6252  df-riota 6415  df-sup 6607  df-oi 6639  df-card 6983  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8314  df-neg 8316  df-div 8542  df-n 8782  df-2 8829  df-3 8830  df-4 8831  df-5 8832  df-6 8833  df-7 8834  df-8 8835  df-9 8836  df-10 8837  df-n0 8975  df-z 9026  df-uz 9222  df-rp 9440  df-fz 9589  df-fl 9675  df-seq 9775  df-exp 9830  df-hash 10015  df-cj 10086  df-re 10087  df-im 10088  df-sqr 10184  df-abs 10185  df-clim 10359  df-rlim 10360  df-sum 10495
Copyright terms: Public domain