Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999... Structured version   Unicode version

Theorem 0.999... 12663
 Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. , is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
0.999...

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 10re 10085 . . . . . . 7
21recni 9107 . . . . . 6
3 nnnn0 10233 . . . . . 6
4 expcl 11404 . . . . . 6
52, 3, 4sylancr 646 . . . . 5
62a1i 11 . . . . . 6
7 10pos 10097 . . . . . . . 8
81, 7gt0ne0ii 9568 . . . . . . 7
98a1i 11 . . . . . 6
10 nnz 10308 . . . . . 6
116, 9, 10expne0d 11534 . . . . 5
12 9re 10084 . . . . . . 7
1312recni 9107 . . . . . 6
14 divrec 9699 . . . . . 6
1513, 14mp3an1 1267 . . . . 5
165, 11, 15syl2anc 644 . . . 4
176, 9, 10exprecd 11536 . . . . 5
1817oveq2d 6100 . . . 4
1916, 18eqtr4d 2473 . . 3
2019sumeq2i 12498 . 2
211, 8rereccli 9784 . . . . 5
2221recni 9107 . . . 4
23 0re 9096 . . . . . . 7
241, 7recgt0ii 9921 . . . . . . 7
2523, 21, 24ltleii 9201 . . . . . 6
2621absidi 12186 . . . . . 6
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5
28 1lt10 10191 . . . . . 6
29 recgt1 9911 . . . . . . 7
301, 7, 29mp2an 655 . . . . . 6
3128, 30mpbi 201 . . . . 5
3227, 31eqbrtri 4234 . . . 4
33 geoisum1c 12662 . . . 4
3413, 22, 32, 33mp3an 1280 . . 3
3513, 2, 8divreci 9764 . . . 4
3613, 2, 8divcan2i 9762 . . . . . 6
37 ax-1cn 9053 . . . . . . . 8
382, 37, 22subdii 9487 . . . . . . 7
392mulid1i 9097 . . . . . . . 8
402, 8recidi 9750 . . . . . . . 8
4139, 40oveq12i 6096 . . . . . . 7
4237, 13addcomi 9262 . . . . . . . . 9
43 df-10 10071 . . . . . . . . 9
4442, 43eqtr4i 2461 . . . . . . . 8
452, 37, 13, 44subaddrii 9394 . . . . . . 7
4638, 41, 453eqtrri 2463 . . . . . 6
4736, 46eqtri 2458 . . . . 5
4812, 1, 8redivcli 9786 . . . . . . 7
4948recni 9107 . . . . . 6
5037, 22subcli 9381 . . . . . 6
5149, 50, 2, 8mulcani 9666 . . . . 5
5247, 51mpbi 201 . . . 4
5335, 52oveq12i 6096 . . 3
54 9pos 10096 . . . . . 6
5512, 1, 54, 7divgt0ii 9933 . . . . 5
5648, 55gt0ne0ii 9568 . . . 4
5749, 56dividi 9752 . . 3
5834, 53, 573eqtr2i 2464 . 2
5920, 58eqtri 2458 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   class class class wbr 4215  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmul 9000   clt 9125   cle 9126   cmin 9296   cdiv 9682  cn 10005  c9 10061  c10 10062  cn0 10226  cexp 11387  cabs 12044  csu 12484 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485
 Copyright terms: Public domain W3C validator