HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem 0.999... 10492
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. , is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree.
Assertion
Ref Expression
0.999...

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 10re 8690 . . . . . . 7
21recni 7995 . . . . . 6
3 nnnn0 8823 . . . . . 6
4 expcl 9683 . . . . . 6
52, 3, 4sylancr 639 . . . . 5
62a1i 10 . . . . . 6
7 10pos 8701 . . . . . . . 8
81, 7gt0ne0ii 8297 . . . . . . 7
98a1i 10 . . . . . 6
10 nnz 8887 . . . . . 6
11 expne0i 9696 . . . . . 6
126, 9, 10, 11syl3anc 1142 . . . . 5
13 9re 8689 . . . . . . 7
1413recni 7995 . . . . . 6
15 divrec 8416 . . . . . 6
1614, 15mp3an1 1224 . . . . 5
175, 12, 16syl2anc 637 . . . 4
18 exprec 9705 . . . . . 6
196, 9, 10, 18syl3anc 1142 . . . . 5
2019oveq2d 5219 . . . 4
2117, 20eqtr4d 2065 . . 3
2221sumeq2i 10344 . 2
231, 8rereccli 8476 . . . 4
2423recni 7995 . . 3
25 0re 8016 . . . . . 6
261, 7recgt0ii 8491 . . . . . 6
2725, 23, 26ltleii 8085 . . . . 5
2823absidi 10104 . . . . 5
2927, 28ax-mp 8 . . . 4
30 1lt10 8790 . . . . 5
31 recgt1 8568 . . . . . 6
321, 7, 31mp2an 648 . . . . 5
3330, 32mpbi 197 . . . 4
3429, 33eqbrtri 3550 . . 3
35 geoisum1c 10491 . . 3
3614, 24, 34, 35mp3an 1237 . 2
3714, 2, 8divreci 8414 . . . 4
3814, 2, 8divcan2i 8399 . . . . . 6
39 ax-1cn 7963 . . . . . . . 8
402, 39, 24subdii 8224 . . . . . . 7
412mulid1i 8009 . . . . . . . 8
422, 8recidi 8410 . . . . . . . 8
4341, 42oveq12i 5216 . . . . . . 7
4439, 14addcomi 8135 . . . . . . . . 9
45 df-10 8679 . . . . . . . . 9
4644, 45eqtr4i 2053 . . . . . . . 8
472, 39, 14, 46subaddrii 8176 . . . . . . 7
4840, 43, 473eqtrri 2055 . . . . . 6
4938, 48eqtri 2050 . . . . 5
5013, 1, 8redivcli 8473 . . . . . . 7
5150recni 7995 . . . . . 6
5239, 24subcli 8168 . . . . . 6
5351, 52, 2, 8mulcani 8372 . . . . 5
5449, 53mpbi 197 . . . 4
5537, 54oveq12i 5216 . . 3
56 9pos 8700 . . . . . 6
5713, 1, 56, 7divgt0ii 8533 . . . . 5
5850, 57gt0ne0ii 8297 . . . 4
5951, 58dividi 8440 . . 3
6055, 59eqtr3i 2052 . 2
6122, 36, 603eqtri 2054 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wb 174   wceq 1526   wcel 1528   wne 2147   class class class wbr 3531  cfv 4184  (class class class)co 5206  cc 7906  cr 7907  cc0 7908  c1 7909   caddc 7911   cmul 7913   cle 8017   clt 8021   cmin 8138   cdiv 8140  cn 8141  cn0 8142  cz 8143  c9 8669  c10 8670  cexp 9666  cabs 10020  csu 10330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1443  ax-6 1444  ax-7 1445  ax-gen 1446  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-12 1533  ax-13 1534  ax-14 1535  ax-17 1542  ax-9 1557  ax-4 1563  ax-16 1741  ax-15 1904  ax-ext 2012  ax-rep 3616  ax-sep 3626  ax-nul 3635  ax-pow 3671  ax-pr 3695  ax-un 3973  ax-inf2 6607  ax-resscn 7962  ax-1cn 7963  ax-icn 7964  ax-addcl 7965  ax-addrcl 7966  ax-mulcl 7967  ax-mulrcl 7968  ax-mulcom 7969  ax-addass 7970  ax-mulass 7971  ax-distr 7972  ax-i2m1 7973  ax-1ne0 7974  ax-1rid 7975  ax-rnegex 7976  ax-rrecex 7977  ax-cnre 7978  ax-pre-lttri 7979  ax-pre-lttrn 7980  ax-pre-ltadd 7981  ax-pre-mulgt0 7982  ax-pre-sup 7983
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1261  df-ex 1448  df-sb 1703  df-eu 1930  df-mo 1931  df-clab 2018  df-cleq 2023  df-clel 2026  df-ne 2149  df-nel 2150  df-ral 2243  df-rex 2244  df-reu 2245  df-rab 2246  df-v 2442  df-sbc 2609  df-csb 2691  df-dif 2753  df-un 2755  df-in 2757  df-ss 2761  df-pss 2763  df-nul 3026  df-if 3135  df-pw 3196  df-sn 3214  df-pr 3215  df-tp 3216  df-op 3217  df-uni 3375  df-int 3409  df-iun 3451  df-br 3532  df-opab 3585  df-tr 3600  df-eprel 3783  df-id 3787  df-po 3792  df-so 3806  df-fr 3826  df-we 3842  df-ord 3858  df-on 3859  df-lim 3860  df-suc 3861  df-om 4139  df-xp 4186  df-rel 4187  df-cnv 4188  df-co 4189  df-dm 4190  df-rn 4191  df-res 4192  df-ima 4193  df-fun 4194  df-fn 4195  df-f 4196  df-f1 4197  df-fo 4198  df-f1o 4199  df-fv 4200  df-iso 4201  df-ov 5208  df-oprab 5209  df-mpt 5371  df-mpt2 5372  df-1st 5521  df-2nd 5522  df-iota 5647  df-recs 5722  df-rdg 5750  df-1o 5798  df-er 5952  df-map 6044  df-pm 6045  df-en 6121  df-dom 6122  df-sdom 6123  df-fin 6124  df-riota 6281  df-sup 6474  df-card 6824  df-pnf 8022  df-mnf 8023  df-xr 8024  df-ltxr 8025  df-le 8026  df-sub 8157  df-neg 8159  df-div 8385  df-n 8625  df-2 8671  df-3 8672  df-4 8673  df-5 8674  df-6 8675  df-7 8676  df-8 8677  df-9 8678  df-10 8679  df-n0 8817  df-z 8868  df-uz 9062  df-q 9148  df-rp 9277  df-fz 9426  df-fl 9512  df-seq 9612  df-exp 9667  df-hash 9852  df-cj 9923  df-re 9924  df-im 9925  df-sqr 10021  df-abs 10022  df-clim 10196  df-rlim 10197  df-sum 10331
Copyright terms: Public domain