HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem 0.999... 9597
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. , is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree.
Assertion
Ref Expression
0.999...

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 10re 7942 . . . . . . 7
21recni 7257 . . . . . 6
3 nnnn0 8055 . . . . . 6
4 expcl 8823 . . . . . 6
52, 3, 4sylancr 639 . . . . 5
62a1i 10 . . . . . 6
7 10pos 7953 . . . . . . . 8
81, 7gt0ne0ii 7552 . . . . . . 7
98a1i 10 . . . . . 6
10 nnz 8113 . . . . . 6
11 expne0i 8833 . . . . . 6
126, 9, 10, 11syl3anc 1142 . . . . 5
13 9re 7941 . . . . . . 7
1413recni 7257 . . . . . 6
15 divrec 7669 . . . . . 6
1614, 15mp3an1 1224 . . . . 5
175, 12, 16syl2anc 637 . . . 4
18 exprec 8842 . . . . . 6
196, 9, 10, 18syl3anc 1142 . . . . 5
2019oveq2d 4992 . . . 4
2117, 20eqtr4d 1953 . . 3
2221sumeq2i 9454 . 2
231, 8rereccli 7728 . . . 4
2423recni 7257 . . 3
25 0re 7277 . . . . . 6
261, 7recgt0ii 7743 . . . . . 6
2725, 23, 26ltleii 7342 . . . . 5
2823absidi 9227 . . . . 5
2927, 28ax-mp 8 . . . 4
30 1lt10 8020 . . . . 5
31 recgt1 7820 . . . . . 6
321, 7, 31mp2an 648 . . . . 5
3330, 32mpbi 197 . . . 4
3429, 33eqbrtri 3389 . . 3
35 geoisum1c 9596 . . 3
3614, 24, 34, 35mp3an 1237 . 2
3714, 2, 8divreci 7667 . . . 4
3814, 2, 8divcan2i 7652 . . . . . 6
39 ax-1cn 7225 . . . . . . . 8
402, 39, 24subdii 7479 . . . . . . 7
412mulid1i 7270 . . . . . . . 8
422, 8recidi 7663 . . . . . . . 8
4341, 42oveq12i 4989 . . . . . . 7
4439, 14addcomi 7391 . . . . . . . . 9
45 df-10 7931 . . . . . . . . 9
4644, 45eqtr4i 1941 . . . . . . . 8
472, 39, 14, 46subaddrii 7431 . . . . . . 7
4840, 43, 473eqtrri 1943 . . . . . 6
4938, 48eqtri 1938 . . . . 5
5013, 1, 8redivcli 7725 . . . . . . 7
5150recni 7257 . . . . . 6
5239, 24subcli 7423 . . . . . 6
5351, 52, 2, 8mulcani 7625 . . . . 5
5449, 53mpbi 197 . . . 4
5537, 54oveq12i 4989 . . 3
56 9pos 7952 . . . . . 6
5713, 1, 56, 7divgt0ii 7785 . . . . 5
5850, 57gt0ne0ii 7552 . . . 4
5951, 58dividi 7693 . . 3
6055, 59eqtr3i 1940 . 2
6122, 36, 603eqtri 1942 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wb 174   wceq 1414   wcel 1416   wne 2035   class class class wbr 3370  cfv 4019  (class class class)co 4979  cc 7168  cr 7169  cc0 7170  c1 7171   caddc 7173   cmul 7175   cle 7278   clt 7282   cmin 7393   cdiv 7395  cn 7396  cn0 7397  cz 7398  c9 7921  c10 7922  cexp 8806  cabs 9143  csu 9440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-15 1792  ax-ext 1900  ax-rep 3456  ax-sep 3466  ax-nul 3475  ax-pow 3511  ax-pr 3535  ax-un 3809  ax-inf2 6217  ax-resscn 7224  ax-1cn 7225  ax-icn 7226  ax-addcl 7227  ax-addrcl 7228  ax-mulcl 7229  ax-mulrcl 7230  ax-mulcom 7231  ax-addass 7232  ax-mulass 7233  ax-distr 7234  ax-i2m1 7235  ax-1ne0 7236  ax-1rid 7237  ax-rnegex 7238  ax-rrecex 7239  ax-cnre 7240  ax-pre-lttri 7241  ax-pre-lttrn 7242  ax-pre-ltadd 7243  ax-pre-mulgt0 7244  ax-pre-sup 7245
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1309  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-nel 2038  df-ral 2131  df-rex 2132  df-reu 2133  df-rab 2134  df-v 2326  df-sbc 2493  df-csb 2575  df-dif 2637  df-un 2639  df-in 2641  df-ss 2645  df-pss 2647  df-nul 2903  df-if 3009  df-pw 3068  df-sn 3085  df-pr 3086  df-tp 3087  df-op 3088  df-uni 3224  df-int 3258  df-iun 3297  df-br 3371  df-opab 3425  df-tr 3440  df-eprel 3620  df-id 3623  df-po 3628  df-so 3642  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3974  df-xp 4021  df-rel 4022  df-cnv 4023  df-co 4024  df-dm 4025  df-rn 4026  df-res 4027  df-ima 4028  df-fun 4029  df-fn 4030  df-f 4031  df-f1 4032  df-fo 4033  df-f1o 4034  df-fv 4035  df-iso 4036  df-ov 4981  df-oprab 4982  df-mpt 5142  df-mpt2 5143  df-1st 5269  df-2nd 5270  df-iota 5377  df-rdg 5468  df-1o 5505  df-er 5643  df-map 5735  df-pm 5736  df-en 5800  df-dom 5801  df-sdom 5802  df-fin 5803  df-riota 5951  df-sup 6131  df-card 6381  df-pnf 7283  df-mnf 7284  df-xr 7285  df-ltxr 7286  df-le 7287  df-sub 7412  df-neg 7414  df-div 7638  df-n 7877  df-2 7923  df-3 7924  df-4 7925  df-5 7926  df-6 7927  df-7 7928  df-8 7929  df-9 7930  df-10 7931  df-n0 8049  df-z 8094  df-uz 8214  df-q 8296  df-rp 8421  df-fz 8566  df-fl 8660  df-seq 8754  df-exp 8807  df-hash 8986  df-cj 9050  df-re 9051  df-im 9052  df-sqr 9144  df-abs 9145  df-clim 9315  df-rlim 9316  df-sum 9441
Copyright terms: Public domain