HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem 0.999... 9682
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. , is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree.
Assertion
Ref Expression
0.999...

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 10re 7986 . . . . . . 7
21recni 7299 . . . . . 6
3 nnnn0 8111 . . . . . 6
4 expcl 8889 . . . . . 6
52, 3, 4sylancr 639 . . . . 5
62a1i 10 . . . . . 6
7 10pos 7997 . . . . . . . 8
81, 7gt0ne0ii 7595 . . . . . . 7
98a1i 10 . . . . . 6
10 nnz 8169 . . . . . 6
11 expne0i 8899 . . . . . 6
126, 9, 10, 11syl3anc 1142 . . . . 5
13 9re 7985 . . . . . . 7
1413recni 7299 . . . . . 6
15 divrec 7713 . . . . . 6
1614, 15mp3an1 1224 . . . . 5
175, 12, 16syl2anc 637 . . . 4
18 exprec 8908 . . . . . 6
196, 9, 10, 18syl3anc 1142 . . . . 5
2019oveq2d 5015 . . . 4
2117, 20eqtr4d 1953 . . 3
2221sumeq2i 9538 . 2
231, 8rereccli 7772 . . . 4
2423recni 7299 . . 3
25 0re 7319 . . . . . 6
261, 7recgt0ii 7787 . . . . . 6
2725, 23, 26ltleii 7384 . . . . 5
2823absidi 9299 . . . . 5
2927, 28ax-mp 8 . . . 4
30 1lt10 8078 . . . . 5
31 recgt1 7864 . . . . . 6
321, 7, 31mp2an 648 . . . . 5
3330, 32mpbi 197 . . . 4
3429, 33eqbrtri 3402 . . 3
35 geoisum1c 9681 . . 3
3614, 24, 34, 35mp3an 1237 . 2
3714, 2, 8divreci 7711 . . . 4
3814, 2, 8divcan2i 7696 . . . . . 6
39 ax-1cn 7267 . . . . . . . 8
402, 39, 24subdii 7522 . . . . . . 7
412mulid1i 7312 . . . . . . . 8
422, 8recidi 7707 . . . . . . . 8
4341, 42oveq12i 5012 . . . . . . 7
4439, 14addcomi 7434 . . . . . . . . 9
45 df-10 7975 . . . . . . . . 9
4644, 45eqtr4i 1941 . . . . . . . 8
472, 39, 14, 46subaddrii 7474 . . . . . . 7
4840, 43, 473eqtrri 1943 . . . . . 6
4938, 48eqtri 1938 . . . . 5
5013, 1, 8redivcli 7769 . . . . . . 7
5150recni 7299 . . . . . 6
5239, 24subcli 7466 . . . . . 6
5351, 52, 2, 8mulcani 7669 . . . . 5
5449, 53mpbi 197 . . . 4
5537, 54oveq12i 5012 . . 3
56 9pos 7996 . . . . . 6
5713, 1, 56, 7divgt0ii 7829 . . . . 5
5850, 57gt0ne0ii 7595 . . . 4
5951, 58dividi 7737 . . 3
6055, 59eqtr3i 1940 . 2
6122, 36, 603eqtri 1942 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wb 174   wceq 1414   wcel 1416   wne 2035   class class class wbr 3383  cfv 4033  (class class class)co 5002  cc 7210  cr 7211  cc0 7212  c1 7213   caddc 7215   cmul 7217   cle 7320   clt 7324   cmin 7436   cdiv 7438  cn 7439  cn0 7440  cz 7441  c9 7965  c10 7966  cexp 8872  cabs 9215  csu 9524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-15 1792  ax-ext 1900  ax-rep 3469  ax-sep 3479  ax-nul 3488  ax-pow 3524  ax-pr 3548  ax-un 3823  ax-inf2 6256  ax-resscn 7266  ax-1cn 7267  ax-icn 7268  ax-addcl 7269  ax-addrcl 7270  ax-mulcl 7271  ax-mulrcl 7272  ax-mulcom 7273  ax-addass 7274  ax-mulass 7275  ax-distr 7276  ax-i2m1 7277  ax-1ne0 7278  ax-1rid 7279  ax-rnegex 7280  ax-rrecex 7281  ax-cnre 7282  ax-pre-lttri 7283  ax-pre-lttrn 7284  ax-pre-ltadd 7285  ax-pre-mulgt0 7286  ax-pre-sup 7287
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1309  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-nel 2038  df-ral 2131  df-rex 2132  df-reu 2133  df-rab 2134  df-v 2328  df-sbc 2495  df-csb 2577  df-dif 2639  df-un 2641  df-in 2643  df-ss 2647  df-pss 2649  df-nul 2905  df-if 3012  df-pw 3072  df-sn 3089  df-pr 3090  df-tp 3091  df-op 3092  df-uni 3234  df-int 3268  df-iun 3307  df-br 3384  df-opab 3438  df-tr 3453  df-eprel 3634  df-id 3637  df-po 3642  df-so 3656  df-fr 3676  df-we 3692  df-ord 3708  df-on 3709  df-lim 3710  df-suc 3711  df-om 3988  df-xp 4035  df-rel 4036  df-cnv 4037  df-co 4038  df-dm 4039  df-rn 4040  df-res 4041  df-ima 4042  df-fun 4043  df-fn 4044  df-f 4045  df-f1 4046  df-fo 4047  df-f1o 4048  df-fv 4049  df-iso 4050  df-ov 5004  df-oprab 5005  df-mpt 5165  df-mpt2 5166  df-1st 5296  df-2nd 5297  df-iota 5407  df-rdg 5498  df-1o 5535  df-er 5673  df-map 5765  df-pm 5766  df-en 5830  df-dom 5831  df-sdom 5832  df-fin 5833  df-riota 5987  df-sup 6170  df-card 6420  df-pnf 7325  df-mnf 7326  df-xr 7327  df-ltxr 7328  df-le 7329  df-sub 7455  df-neg 7457  df-div 7682  df-n 7921  df-2 7967  df-3 7968  df-4 7969  df-5 7970  df-6 7971  df-7 7972  df-8 7973  df-9 7974  df-10 7975  df-n0 8105  df-z 8150  df-uz 8272  df-q 8354  df-rp 8481  df-fz 8630  df-fl 8724  df-seq 8819  df-exp 8873  df-hash 9053  df-cj 9120  df-re 9121  df-im 9122  df-sqr 9216  df-abs 9217  df-clim 9390  df-rlim 9391  df-sum 9525
Copyright terms: Public domain