HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem 0.999... 9832
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. , is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree.
Assertion
Ref Expression
0.999...

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 10re 8039 . . . . . . 7
21recni 7344 . . . . . 6
3 nnnn0 8172 . . . . . 6
4 expcl 9029 . . . . . 6
52, 3, 4sylancr 639 . . . . 5
62a1i 10 . . . . . 6
7 10pos 8050 . . . . . . . 8
81, 7gt0ne0ii 7646 . . . . . . 7
98a1i 10 . . . . . 6
10 nnz 8236 . . . . . 6
11 expne0i 9040 . . . . . 6
126, 9, 10, 11syl3anc 1142 . . . . 5
13 9re 8038 . . . . . . 7
1413recni 7344 . . . . . 6
15 divrec 7765 . . . . . 6
1614, 15mp3an1 1224 . . . . 5
175, 12, 16syl2anc 637 . . . 4
18 exprec 9049 . . . . . 6
196, 9, 10, 18syl3anc 1142 . . . . 5
2019oveq2d 5045 . . . 4
2117, 20eqtr4d 1953 . . 3
2221sumeq2i 9686 . 2
231, 8rereccli 7825 . . . 4
2423recni 7344 . . 3
25 0re 7365 . . . . . 6
261, 7recgt0ii 7840 . . . . . 6
2725, 23, 26ltleii 7434 . . . . 5
2823absidi 9444 . . . . 5
2927, 28ax-mp 8 . . . 4
30 1lt10 8139 . . . . 5
31 recgt1 7917 . . . . . 6
321, 7, 31mp2an 648 . . . . 5
3330, 32mpbi 197 . . . 4
3429, 33eqbrtri 3415 . . 3
35 geoisum1c 9831 . . 3
3614, 24, 34, 35mp3an 1237 . 2
3714, 2, 8divreci 7763 . . . 4
3814, 2, 8divcan2i 7748 . . . . . 6
39 ax-1cn 7312 . . . . . . . 8
402, 39, 24subdii 7573 . . . . . . 7
412mulid1i 7358 . . . . . . . 8
422, 8recidi 7759 . . . . . . . 8
4341, 42oveq12i 5042 . . . . . . 7
4439, 14addcomi 7484 . . . . . . . . 9
45 df-10 8028 . . . . . . . . 9
4644, 45eqtr4i 1941 . . . . . . . 8
472, 39, 14, 46subaddrii 7525 . . . . . . 7
4840, 43, 473eqtrri 1943 . . . . . 6
4938, 48eqtri 1938 . . . . 5
5013, 1, 8redivcli 7822 . . . . . . 7
5150recni 7344 . . . . . 6
5239, 24subcli 7517 . . . . . 6
5351, 52, 2, 8mulcani 7721 . . . . 5
5449, 53mpbi 197 . . . 4
5537, 54oveq12i 5042 . . 3
56 9pos 8049 . . . . . 6
5713, 1, 56, 7divgt0ii 7882 . . . . 5
5850, 57gt0ne0ii 7646 . . . 4
5951, 58dividi 7789 . . 3
6055, 59eqtr3i 1940 . 2
6122, 36, 603eqtri 1942 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wb 174   wceq 1414   wcel 1416   wne 2035   class class class wbr 3396  cfv 4046  (class class class)co 5032  cc 7255  cr 7256  cc0 7257  c1 7258   caddc 7260   cmul 7262   cle 7366   clt 7370   cmin 7487   cdiv 7489  cn 7490  cn0 7491  cz 7492  c9 8018  c10 8019  cexp 9012  cabs 9360  csu 9672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-15 1792  ax-ext 1900  ax-rep 3481  ax-sep 3491  ax-nul 3500  ax-pow 3536  ax-pr 3560  ax-un 3836  ax-inf2 6289  ax-resscn 7311  ax-1cn 7312  ax-icn 7313  ax-addcl 7314  ax-addrcl 7315  ax-mulcl 7316  ax-mulrcl 7317  ax-mulcom 7318  ax-addass 7319  ax-mulass 7320  ax-distr 7321  ax-i2m1 7322  ax-1ne0 7323  ax-1rid 7324  ax-rnegex 7325  ax-rrecex 7326  ax-cnre 7327  ax-pre-lttri 7328  ax-pre-lttrn 7329  ax-pre-ltadd 7330  ax-pre-mulgt0 7331  ax-pre-sup 7332
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1309  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-nel 2038  df-ral 2131  df-rex 2132  df-reu 2133  df-rab 2134  df-v 2329  df-sbc 2496  df-csb 2578  df-dif 2640  df-un 2642  df-in 2644  df-ss 2648  df-pss 2650  df-nul 2908  df-if 3015  df-pw 3075  df-sn 3092  df-pr 3093  df-tp 3094  df-op 3095  df-uni 3247  df-int 3281  df-iun 3320  df-br 3397  df-opab 3450  df-tr 3465  df-eprel 3646  df-id 3650  df-po 3655  df-so 3669  df-fr 3689  df-we 3705  df-ord 3721  df-on 3722  df-lim 3723  df-suc 3724  df-om 4001  df-xp 4048  df-rel 4049  df-cnv 4050  df-co 4051  df-dm 4052  df-rn 4053  df-res 4054  df-ima 4055  df-fun 4056  df-fn 4057  df-f 4058  df-f1 4059  df-fo 4060  df-f1o 4061  df-fv 4062  df-iso 4063  df-ov 5034  df-oprab 5035  df-mpt 5196  df-mpt2 5197  df-1st 5333  df-2nd 5334  df-iota 5444  df-rdg 5535  df-1o 5572  df-er 5710  df-map 5802  df-pm 5803  df-en 5869  df-dom 5870  df-sdom 5871  df-fin 5872  df-riota 6022  df-sup 6201  df-card 6455  df-pnf 7371  df-mnf 7372  df-xr 7373  df-ltxr 7374  df-le 7375  df-sub 7506  df-neg 7508  df-div 7734  df-n 7974  df-2 8020  df-3 8021  df-4 8022  df-5 8023  df-6 8024  df-7 8025  df-8 8026  df-9 8027  df-10 8028  df-n0 8166  df-z 8217  df-uz 8411  df-q 8497  df-rp 8625  df-fz 8774  df-fl 8860  df-seq 8959  df-exp 9013  df-hash 9195  df-cj 9265  df-re 9266  df-im 9267  df-sqr 9361  df-abs 9362  df-clim 9538  df-rlim 9539  df-sum 9673
Copyright terms: Public domain