MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00ply1bas Structured version   Unicode version

Theorem 00ply1bas 16624
Description: Lemma for ply1basfvi 16625 and deg1fvi 19998. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
00ply1bas  |-  (/)  =  (
Base `  (Poly1 `  (/) ) )

Proof of Theorem 00ply1bas
StepHypRef Expression
1 noel 3624 . . 3  |-  -.  a  e.  (/)
2 noel 3624 . . . 4  |-  -.  (
a `  ( 1o  X.  { 0 } ) )  e.  (/)
3 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  (/) )  =  (Poly1 `  (/) )
4 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )
5 base0 13496 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
63, 4, 5ply1basf 16590 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )  ->  a : ( NN0  ^m  1o ) --> (/) )
7 0nn0 10226 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
87fconst6 5625 . . . . . 6  |-  ( 1o 
X.  { 0 } ) : 1o --> NN0
9 nn0ex 10217 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
10 1on 6723 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
1110elexi 2957 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
129, 11elmap 7034 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
0 } ) : 1o --> NN0 )
138, 12mpbir 201 . . . . 5  |-  ( 1o 
X.  { 0 } )  e.  ( NN0 
^m  1o )
14 ffvelrn 5860 . . . . 5  |-  ( ( a : ( NN0 
^m  1o ) --> (/)  /\  ( 1o  X.  {
0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  (
a `  ( 1o  X.  { 0 } ) )  e.  (/) )
156, 13, 14sylancl 644 . . . 4  |-  ( a  e.  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )  ->  (
a `  ( 1o  X.  { 0 } ) )  e.  (/) )
162, 15mto 169 . . 3  |-  -.  a  e.  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )
171, 162false 340 . 2  |-  ( a  e.  (/)  <->  a  e.  (
Base `  (Poly1 `  (/) ) ) )
1817eqriv 2432 1  |-  (/)  =  (
Base `  (Poly1 `  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3620   {csn 3806   Oncon0 4573    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1oc1o 6709    ^m cmap 7010   0cc0 8980   NN0cn0 10211   Basecbs 13459  Poly1cpl1 16561
This theorem is referenced by:  ply1basfvi  16625  deg1fvi  19998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-psr 16407  df-mpl 16409  df-opsr 16415  df-psr1 16566  df-ply1 16568
  Copyright terms: Public domain W3C validator