Theorem 00sr 5180

Description: A signed real times 0 is 0.

Assertion

Ref	Expression
00sr	|- (A e. R. -> (A .R 0R) = 0R)

Proof of Theorem 00sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5139	. 2 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		opreq1 3953	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R .R 0R) = (A .R 0R))
3	2	eqeq1d 1475	. 2 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (([<.x, y>.] ~R .R 0R) = 0R <-> (A .R 0R) = 0R))
4		1pr 5089	. . . . . 6 |- 1P e. P.
5	4, 4	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (1P e. P. /\ 1P e. P.)
6		mulsrpr 5157	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R )
7	5, 6	mpan2 694	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R )
8		eqid 1468	. . . . . . . 8 |- (((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) +P. 1P) = (((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) +P. 1P)
9		enreceq 5149	. . . . . . . 8 |- (((((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P. /\ ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P.) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> ([<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R = [<.1P, 1P>.] ~R <-> (((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) +P. 1P) = (((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) +P. 1P)))
10	8, 9	mpbiri 194	. . . . . . 7 |- (((((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P. /\ ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P.) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R = [<.1P, 1P>.] ~R )
11		addclpr 5092	. . . . . . . . 9 |- (((x .P. 1P) e. P. /\ (y .P. 1P) e. P.) -> ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P.)
12		mulclpr 5094	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. P. /\ 1P e. P.) -> (x .P. 1P) e. P.)
13	4, 12	mpan2 694	. . . . . . . . 9 |- (x e. P. -> (x .P. 1P) e. P.)
14		mulclpr 5094	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. P. /\ 1P e. P.) -> (y .P. 1P) e. P.)
15	4, 14	mpan2 694	. . . . . . . . 9 |- (y e. P. -> (y .P. 1P) e. P.)
16	11, 13, 15	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P.)
17	16, 16	anim12i 333	. . . . . . 7 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> (((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P. /\ ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P.))
18	10, 17	sylan 448	. . . . . 6 |- ((((x e. P. /\ y e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R = [<.1P, 1P>.] ~R )
19	5, 18	mpan2 694	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R = [<.1P, 1P>.] ~R )
20	19	anidms 434	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R = [<.1P, 1P>.] ~R )
21	7, 20	eqtrd 1499	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.1P, 1P>.] ~R )
22		df-0r 5143	. . . 4 |- 0R = [<.1P, 1P>.] ~R
23	22	opreq2i 3957	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R .R 0R) = ([<.x, y>.] ~R .R [<.1P, 1P>.] ~R )
24	21, 23, 22	3eqtr4g 1523	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R .R 0R) = 0R)
25	1, 3, 24	ecoptocl 4287	1 |- (A e. R. -> (A .R 0R) = 0R)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401  (class class class)co 3948  [cec 4243  P.cnp 4957  1Pc1p 4958   +P. cpp 4959   .P. cmp 4960   ~R cer 4964  R.cnr 4965  0Rc0r 4966   .R cmr 4970

This theorem is referenced by:  pn0sr 5182  ssgt0sr 5189  mulresr 5229  ax1id 5254  axi2m1 5257  axcnre 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-mr 5141  df-0r 5143

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