MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cld Unicode version

Theorem 0cld 17090
Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
0cld  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)

Proof of Theorem 0cld
StepHypRef Expression
1 dif0 3690 . . 3  |-  ( U. J  \  (/) )  =  U. J
21topopn 16967 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( U. J  \  (/) )  e.  J )
3 0ss 3648 . . 3  |-  (/)  C_  U. J
4 eqid 2435 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
54iscld2 17080 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/)  C_  U. J )  -> 
( (/)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  (/) )  e.  J
) )
63, 5mpan2 653 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( (/) 
e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  (/) )  e.  J
) )
72, 6mpbird 224 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   ` cfv 5445   Topctop 16946   Clsdccld 17068
This theorem is referenced by:  cls0  17132  indiscld  17143  iscldtop  17147  iccordt  17266  iscon2  17465  tgptsmscld  18168  mblfinlem  26190  mblfinlem2  26191  ismblfin  26193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fv 5453  df-top 16951  df-cld 17071
  Copyright terms: Public domain W3C validator