Theorem 0cld 7675

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93.

Assertion

Ref	Expression
0cld	|- (J e. Top -> (/) e. (Clsd` J))

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 2339	. . 3 |- (U.J \ (/)) = U.J
2	1	topopn 7603	. 2 |- (J e. Top -> (U.J \ (/)) e. J)
3		0ss 2305	. . 3 |- (/) (_ U.J
4		eqid 1478	. . . 4 |- U.J = U.J
5	4	iscld2 7667	. . 3 |- ((J e. Top /\ (/) (_ U.J) -> ((/) e. (Clsd` J) <-> (U.J \ (/)) e. J))
6	3, 5	mpan2 698	. 2 |- (J e. Top -> ((/) e. (Clsd` J) <-> (U.J \ (/)) e. J))
7	2, 6	mpbird 196	1 |- (J e. Top -> (/) e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 960   \ cdif 2047   (_ wss 2050  (/)c0 2283  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  Clsdccld 7657

This theorem is referenced by:  cls0 7706

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-top 7594  df-cld 7660

Copyright terms: Public domain