MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cmp Unicode version

Theorem 0cmp 17381
Description: The singleton of the empty set is compact. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
0cmp  |-  { (/) }  e.  Comp

Proof of Theorem 0cmp
StepHypRef Expression
1 sn0top 16988 . . 3  |-  { (/) }  e.  Top
2 snfi 7125 . . 3  |-  { (/) }  e.  Fin
3 elin 3475 . . 3  |-  ( {
(/) }  e.  ( Top  i^i  Fin )  <->  ( { (/)
}  e.  Top  /\  {
(/) }  e.  Fin ) )
41, 2, 3mpbir2an 887 . 2  |-  { (/) }  e.  ( Top  i^i  Fin )
5 fincmp 17380 . 2  |-  ( {
(/) }  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  { (/) }  e.  Comp )
64, 5ax-mp 8 1  |-  { (/) }  e.  Comp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717    i^i cin 3264   (/)c0 3573   {csn 3759   Fincfn 7047   Topctop 16883   Compccmp 17373
This theorem is referenced by:  fiuncmp  17391  xkouni  17554  icccmp  18729  ordcmp  25913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-1o 6662  df-er 6843  df-en 7048  df-fin 7051  df-top 16888  df-topon 16891  df-cmp 17374
  Copyright terms: Public domain W3C validator