MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cmp Unicode version

Theorem 0cmp 17137
Description: The singleton of the empty set is compact. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
0cmp  |-  { (/) }  e.  Comp

Proof of Theorem 0cmp
StepHypRef Expression
1 sn0top 16752 . . 3  |-  { (/) }  e.  Top
2 snfi 6957 . . 3  |-  { (/) }  e.  Fin
3 elin 3371 . . 3  |-  ( {
(/) }  e.  ( Top  i^i  Fin )  <->  ( { (/)
}  e.  Top  /\  {
(/) }  e.  Fin ) )
41, 2, 3mpbir2an 886 . 2  |-  { (/) }  e.  ( Top  i^i  Fin )
5 fincmp 17136 . 2  |-  ( {
(/) }  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  { (/) }  e.  Comp )
64, 5ax-mp 8 1  |-  { (/) }  e.  Comp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696    i^i cin 3164   (/)c0 3468   {csn 3653   Fincfn 6879   Topctop 16647   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  fiuncmp  17147  xkouni  17310  icccmp  18346  ordcmp  24958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-top 16652  df-topon 16655  df-cmp 17130
  Copyright terms: Public domain W3C validator