Theorem 0cnfn 9820

Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
0cnfn	|- (H~ X. {0}) e. ConFn

Proof of Theorem 0cnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnfnt 9726	. 2 |- ((H~ X. {0}) e. ConFn <-> ((H~ X. {0}):H~-->CC /\ A.x e. H~ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))))
2		0cn 5300	. . . . 5 |- 0 e. CC
3	2	elisseti 1809	. . . 4 |- 0 e. V
4	3	fconst 3643	. . 3 |- (H~ X. {0}):H~-->{0}
5		snssi 2457	. . . 4 |- (0 e. CC -> {0} (_ CC)
6	2, 5	ax-mp 7	. . 3 |- {0} (_ CC
7		fss 3620	. . 3 |- (((H~ X. {0}):H~-->{0} /\ {0} (_ CC) -> (H~ X. {0}):H~-->CC)
8	4, 6, 7	mp2an 695	. 2 |- (H~ X. {0}):H~-->CC
9		1re 5407	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
10	9	a1i 8	. . . . . 6 |- (0 < y -> 1 e. RR)
11	10	a1i 8	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> 1 e. RR))
12		lt01 5653	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
13	12	a1i 8	. . . . . . . 8 |- (0 < y -> 0 < 1)
14	13	a1i 8	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (0 < y -> 0 < 1))
15	3	fvconst2 3831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. H~ -> ((H~ X. {0})` w) = 0)
16	3	fvconst2 3831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. H~ -> ((H~ X. {0})` x) = 0)
17	15, 16	opreqan12rd 3965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x)) = (0 - 0))
18	2	subid 5363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0 - 0) = 0
19	17, 18	syl6eq 1515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x)) = 0)
20	19	fveq2d 3713	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) = (abs` 0))
21		abs0 6814	. . . . . . . . . . . 12 |- (abs` 0) = 0
22	20, 21	syl6eq 1515	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) = 0)
23	22	breq1d 2619	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> ((abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y <-> 0 < y))
24	23	biimprd 154	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (0 < y -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))
25	24	a1dd 42	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (0 < y -> ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
26	25	r19.21adva 1711	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (0 < y -> A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
27	14, 26	jcad 598	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (0 < y -> (0 < 1 /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))))
28	27	adantr 389	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> (0 < 1 /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))))
29	11, 28	jcad 598	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> (1 e. RR /\ (0 < 1 /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))))
30		breq2 2613	. . . . . 6 |- (z = 1 -> (0 < z <-> 0 < 1))
31		breq2 2613	. . . . . . . 8 |- (z = 1 -> ((normh` (w -h x)) < z <-> (normh` (w -h x)) < 1))
32	31	imbi1d 611	. . . . . . 7 |- (z = 1 -> (((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y) <-> ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
33	32	ralbidv 1655	. . . . . 6 |- (z = 1 -> (A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y) <-> A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
34	30, 33	anbi12d 626	. . . . 5 |- (z = 1 -> ((0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)) <-> (0 < 1 /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))))
35	34	rcla4ev 1868	. . . 4 |- ((1 e. RR /\ (0 < 1 /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))) -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
36	29, 35	syl6 22	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))))
37	36	rgen2 1715	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
38	1, 8, 37	mpbir2an 728	1 |- (H~ X. {0}) e. ConFn

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638   (_ wss 2037  {csn 2399   class class class wbr 2609   X. cxp 3158  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   - cmin 5264   < clt 5458  abscabs 6681  H~chil 8727   -h cmv 8731  normhcno 8733  ConFnccnf 8761

This theorem is referenced by:  nmcfnext 9903  nmcfnlbt 9904  lnfncon 9905  riesz4t 9912  riesz1t 9913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-cnfn 9690

Copyright terms: Public domain