Theorem 0ded 10534

Description: A deductive system with no object and no morphism.

Assertion

Ref	Expression
0ded	|- <.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Ded

Proof of Theorem 0ded

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2701	. . . 4 |- (/) e. V
2	1, 1, 1	3pm3.2i 816	. . 3 |- ((/) e. V /\ (/) e. V /\ (/) e. V)
3		eqid 1468	. . . 4 |- dom (/) = dom (/)
4	3, 3	isded 10513	. . 3 |- ((((/) e. V /\ (/) e. V /\ (/) e. V) /\ (/) e. V) -> (<.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Ded <-> ((<.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Alg /\ A.a e. dom (/)(((/)` ((/)` a)) = a /\ ((/)` ((/)` a)) = a) /\ A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(<.g, f>. e. dom (/) <-> ((/)` g) = ((/)` f))) /\ (A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` f)) /\ A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` g))))))
5	2, 1, 4	mp2an 695	. 2 |- (<.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Ded <-> ((<.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Alg /\ A.a e. dom (/)(((/)` ((/)` a)) = a /\ ((/)` ((/)` a)) = a) /\ A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(<.g, f>. e. dom (/) <-> ((/)` g) = ((/)` f))) /\ (A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` f)) /\ A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` g)))))
6		0alg 10533	. . 3 |- <.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Alg
7		dm0 3312	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
8	7	eleq2i 1530	. . . . 5 |- (a e. dom (/) <-> a e. (/))
9		noel 2274	. . . . . 6 |- -. a e. (/)
10	9	pm2.21i 77	. . . . 5 |- (a e. (/) -> (((/)` ((/)` a)) = a /\ ((/)` ((/)` a)) = a))
11	8, 10	sylbi 199	. . . 4 |- (a e. dom (/) -> (((/)` ((/)` a)) = a /\ ((/)` ((/)` a)) = a))
12	11	rgen 1690	. . 3 |- A.a e. dom (/)(((/)` ((/)` a)) = a /\ ((/)` ((/)` a)) = a)
13	7	eleq2i 1530	. . . . 5 |- (f e. dom (/) <-> f e. (/))
14		noel 2274	. . . . . 6 |- -. f e. (/)
15	14	pm2.21i 77	. . . . 5 |- (f e. (/) -> A.g e. dom (/)(<.g, f>. e. dom (/) <-> ((/)` g) = ((/)` f)))
16	13, 15	sylbi 199	. . . 4 |- (f e. dom (/) -> A.g e. dom (/)(<.g, f>. e. dom (/) <-> ((/)` g) = ((/)` f)))
17	16	rgen 1690	. . 3 |- A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(<.g, f>. e. dom (/) <-> ((/)` g) = ((/)` f))
18	6, 12, 17	3pm3.2i 816	. 2 |- (<.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Alg /\ A.a e. dom (/)(((/)` ((/)` a)) = a /\ ((/)` ((/)` a)) = a) /\ A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(<.g, f>. e. dom (/) <-> ((/)` g) = ((/)` f)))
19	14	pm2.21i 77	. . . . 5 |- (f e. (/) -> A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` f)))
20	13, 19	sylbi 199	. . . 4 |- (f e. dom (/) -> A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` f)))
21	20	rgen 1690	. . 3 |- A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` f))
22	14	pm2.21i 77	. . . . 5 |- (f e. (/) -> A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` g)))
23	13, 22	sylbi 199	. . . 4 |- (f e. dom (/) -> A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` g)))
24	23	rgen 1690	. . 3 |- A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` g))
25	21, 24	pm3.2i 285	. 2 |- (A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` f)) /\ A.f e. dom (/)A.g e. dom (/)(((/)` g) = ((/)` f) -> ((/)` (g(/)f)) = ((/)` g)))
26	5, 18, 25	mpbir2an 728	1 |- <.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Ded

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802  (/)c0 2270  <.cop 2401  dom cdm 3160  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  Algcalg 10487  Dedcded 10511

This theorem is referenced by:  0cat 10535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-alg 10492  df-ded 10512

Copyright terms: Public domain