Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgrb Structured version   Unicode version

Theorem 0dgrb 20157
 Description: A function has degree zero iff it is a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgrb Poly deg

Proof of Theorem 0dgrb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . . 8 coeff coeff
2 eqid 2435 . . . . . . . 8 deg deg
31, 2coeid 20149 . . . . . . 7 Poly degcoeff
43adantr 452 . . . . . 6 Poly deg degcoeff
5 simplr 732 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
65oveq2d 6089 . . . . . . . . 9 Poly deg deg
76sumeq1d 12487 . . . . . . . 8 Poly deg degcoeff coeff
8 0z 10285 . . . . . . . . . 10
9 exp0 11378 . . . . . . . . . . . . . 14
109adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg
1110oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg coeff coeff
121coef3 20143 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly coeff
13 0nn0 10228 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff coeff
1512, 13, 14sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly coeff
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg coeff
1716mulid1d 9097 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg coeff coeff
1811, 17eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11 Poly deg coeff coeff
1918, 16eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10 Poly deg coeff
20 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
21 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
2322fsum1 12527 . . . . . . . . . 10 coeff coeff coeff
248, 19, 23sylancr 645 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff coeff
2524, 18eqtrd 2467 . . . . . . . 8 Poly deg coeff coeff
267, 25eqtrd 2467 . . . . . . 7 Poly deg degcoeff coeff
2726mpteq2dva 4287 . . . . . 6 Poly deg degcoeff coeff
284, 27eqtrd 2467 . . . . 5 Poly deg coeff
29 fconstmpt 4913 . . . . 5 coeff coeff
3028, 29syl6eqr 2485 . . . 4 Poly deg coeff
3130fveq1d 5722 . . . . . . 7 Poly deg coeff
32 0cn 9076 . . . . . . . 8
33 fvex 5734 . . . . . . . . 9 coeff
3433fvconst2 5939 . . . . . . . 8 coeff coeff
3532, 34ax-mp 8 . . . . . . 7 coeff coeff
3631, 35syl6eq 2483 . . . . . 6 Poly deg coeff
3736sneqd 3819 . . . . 5 Poly deg coeff
3837xpeq2d 4894 . . . 4 Poly deg coeff
3930, 38eqtr4d 2470 . . 3 Poly deg
4039ex 424 . 2 Poly deg
41 plyf 20109 . . . . 5 Poly
42 ffvelrn 5860 . . . . 5
4341, 32, 42sylancl 644 . . . 4 Poly
44 0dgr 20156 . . . 4 deg
4543, 44syl 16 . . 3 Poly deg
46 fveq2 5720 . . . 4 deg deg
4746eqeq1d 2443 . . 3 deg deg
4845, 47syl5ibrcom 214 . 2 Poly deg
4940, 48impbid 184 1 Poly deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  csn 3806   cmpt 4258   cxp 4868  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987  cn0 10213  cz 10274  cfz 11035  cexp 11374  csu 12471  Polycply 20095  coeffccoe 20097  degcdgr 20098 This theorem is referenced by:  dgreq0  20175  dgrcolem2  20184  dgrco  20185  plyrem  20214  fta1  20217  aaliou2  20249  dgrnznn  27298 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102
 Copyright terms: Public domain W3C validator