Theorem 0el 2296

Description: Membership of the empty set in another class.

Assertion

Ref	Expression
0el	|- ((/) e. A <-> E.x e. A A.y -. y e. x)

Distinct variable groups:   x,A   x,y

Proof of Theorem 0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 1685	. 2 |- ((/) e. A <-> E.x e. A x = (/))
2		eq0 2294	. . 3 |- (x = (/) <-> A.y -. y e. x)
3	2	rexbii 1668	. 2 |- (E.x e. A x = (/) <-> E.x e. A A.y -. y e. x)
4	1, 3	bitr 173	1 |- ((/) e. A <-> E.x e. A A.y -. y e. x)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  (/)c0 2280

This theorem is referenced by:  axinf2 4624  zfinf 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-nul 2281

Copyright terms: Public domain