Theorem 0ellim 3035

Description: A limit ordinal contains the empty set.

Assertion

Ref	Expression
0ellim	|- (Lim A -> (/) e. A)

Proof of Theorem 0ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 3031	. . . 4 |- -. Lim (/)
2		limeq 2987	. . . 4 |- (A = (/) -> (Lim A <-> Lim (/)))
3	1, 2	mtbiri 722	. . 3 |- (A = (/) -> -. Lim A)
4	3	necon2ai 1654	. 2 |- (Lim A -> A =/= (/))
5		limord 3032	. . 3 |- (Lim A -> Ord A)
6		ord0eln0 3027	. . 3 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
7	5, 6	syl 10	. 2 |- (Lim A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
8	4, 7	mpbird 194	1 |- (Lim A -> (/) e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628  (/)c0 2332  Ord word 2974  Lim wlim 2976

This theorem is referenced by:  limuni3 3206  peano1 3237  oe1m 4315  oalimcl 4330  oaass 4331  oarec 4332  omlimcl 4345  odi 4346  oen0 4349  oewordri 4355  oelim2 4358  oeoalem 4359  oeoelem 4361  limensuci 4653  rankxplim2 4859  rankxplim3 4860  omsublim 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-lim 2980

Copyright terms: Public domain