MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elsuc Structured version   Unicode version

Theorem 0elsuc 4815
Description: The successor of an ordinal class contains the empty set. (Contributed by NM, 4-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
0elsuc  |-  ( Ord 
A  ->  (/)  e.  suc  A )

Proof of Theorem 0elsuc
StepHypRef Expression
1 ordsuc 4794 . 2  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
2 nsuceq0 4661 . . 3  |-  suc  A  =/=  (/)
3 ord0eln0 4635 . . 3  |-  ( Ord 
suc  A  ->  ( (/)  e.  suc  A  <->  suc  A  =/=  (/) ) )
42, 3mpbiri 225 . 2  |-  ( Ord 
suc  A  ->  (/)  e.  suc  A )
51, 4sylbi 188 1  |-  ( Ord 
A  ->  (/)  e.  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    =/= wne 2599   (/)c0 3628   Ord word 4580   suc csuc 4583
This theorem is referenced by:  oesuclem  6769  axdc3lem2  8331  axdc3lem4  8333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587
  Copyright terms: Public domain W3C validator