MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Unicode version

Theorem 0elunit 10940
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9017 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10006 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 9476 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 9016 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 10901 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1136 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    <_ cle 9047   [,]cicc 10844
This theorem is referenced by:  xrhmeo  18835  htpycom  18865  htpyid  18866  htpyco1  18867  htpyco2  18868  htpycc  18869  phtpy01  18874  phtpycom  18877  phtpyid  18878  phtpyco2  18879  phtpycc  18880  reparphti  18886  pcocn  18906  pcohtpylem  18908  pcoptcl  18910  pcopt  18911  pcopt2  18912  pcoass  18913  pcorevcl  18914  pcorevlem  18915  pi1xfrf  18942  pi1xfr  18944  pi1xfrcnvlem  18945  pi1xfrcnv  18946  pi1cof  18948  pi1coghm  18950  dvlipcn  19738  xrge0iifcnv  24116  xrge0iifiso  24118  xrge0iifhom  24120  lgamgulmlem2  24586  cnpcon  24689  pconcon  24690  txpcon  24691  ptpcon  24692  indispcon  24693  conpcon  24694  sconpi1  24698  txsconlem  24699  txscon  24700  cvxpcon  24701  cvxscon  24702  cvmliftlem14  24756  cvmlift2lem2  24763  cvmlift2lem3  24764  cvmlift2lem8  24769  cvmlift2lem12  24773  cvmlift2lem13  24774  cvmliftphtlem  24776  cvmliftpht  24777  cvmlift3lem1  24778  cvmlift3lem2  24779  cvmlift3lem4  24781  cvmlift3lem5  24782  cvmlift3lem6  24783  cvmlift3lem9  24786  brbtwn2  25551  axsegconlem1  25563  axpaschlem  25586  axcontlem7  25616  axcontlem8  25617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-icc 10848
  Copyright terms: Public domain W3C validator