MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Structured version   Unicode version

Theorem 0elunit 11046
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9122 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10112 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 9582 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 9121 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 11007 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1137 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1727   class class class wbr 4237  (class class class)co 6110   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    <_ cle 9152   [,]cicc 10950
This theorem is referenced by:  xrhmeo  19002  htpycom  19032  htpyid  19033  htpyco1  19034  htpyco2  19035  htpycc  19036  phtpy01  19041  phtpycom  19044  phtpyid  19045  phtpyco2  19046  phtpycc  19047  reparphti  19053  pcocn  19073  pcohtpylem  19075  pcoptcl  19077  pcopt  19078  pcopt2  19079  pcoass  19080  pcorevcl  19081  pcorevlem  19082  pi1xfrf  19109  pi1xfr  19111  pi1xfrcnvlem  19112  pi1xfrcnv  19113  pi1cof  19115  pi1coghm  19117  dvlipcn  19909  xrge0iifcnv  24350  xrge0iifiso  24352  xrge0iifhom  24354  lgamgulmlem2  24845  cnpcon  24948  pconcon  24949  txpcon  24950  ptpcon  24951  indispcon  24952  conpcon  24953  sconpi1  24957  txsconlem  24958  txscon  24959  cvxpcon  24960  cvxscon  24961  cvmliftlem14  25015  cvmlift2lem2  25022  cvmlift2lem3  25023  cvmlift2lem8  25028  cvmlift2lem12  25032  cvmlift2lem13  25033  cvmliftphtlem  25035  cvmliftpht  25036  cvmlift3lem1  25037  cvmlift3lem2  25038  cvmlift3lem4  25040  cvmlift3lem5  25041  cvmlift3lem6  25042  cvmlift3lem9  25045  brbtwn2  25875  axsegconlem1  25887  axpaschlem  25910  axcontlem7  25940  axcontlem8  25941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-icc 10954
  Copyright terms: Public domain W3C validator