MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Unicode version

Theorem 0elunit 10999
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9075 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10065 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 9535 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 9074 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 10960 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1136 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   class class class wbr 4199  (class class class)co 6067   RRcr 8973   0cc0 8974   1c1 8975    <_ cle 9105   [,]cicc 10903
This theorem is referenced by:  xrhmeo  18954  htpycom  18984  htpyid  18985  htpyco1  18986  htpyco2  18987  htpycc  18988  phtpy01  18993  phtpycom  18996  phtpyid  18997  phtpyco2  18998  phtpycc  18999  reparphti  19005  pcocn  19025  pcohtpylem  19027  pcoptcl  19029  pcopt  19030  pcopt2  19031  pcoass  19032  pcorevcl  19033  pcorevlem  19034  pi1xfrf  19061  pi1xfr  19063  pi1xfrcnvlem  19064  pi1xfrcnv  19065  pi1cof  19067  pi1coghm  19069  dvlipcn  19861  xrge0iifcnv  24302  xrge0iifiso  24304  xrge0iifhom  24306  lgamgulmlem2  24797  cnpcon  24900  pconcon  24901  txpcon  24902  ptpcon  24903  indispcon  24904  conpcon  24905  sconpi1  24909  txsconlem  24910  txscon  24911  cvxpcon  24912  cvxscon  24913  cvmliftlem14  24967  cvmlift2lem2  24974  cvmlift2lem3  24975  cvmlift2lem8  24980  cvmlift2lem12  24984  cvmlift2lem13  24985  cvmliftphtlem  24987  cvmliftpht  24988  cvmlift3lem1  24989  cvmlift3lem2  24990  cvmlift3lem4  24992  cvmlift3lem5  24993  cvmlift3lem6  24994  cvmlift3lem9  24997  brbtwn2  25787  axsegconlem1  25799  axpaschlem  25822  axcontlem7  25852  axcontlem8  25853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-icc 10907
  Copyright terms: Public domain W3C validator