MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fin Structured version   Unicode version

Theorem 0fin 7328
Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
0fin  |-  (/)  e.  Fin

Proof of Theorem 0fin
StepHypRef Expression
1 peano1 4856 . 2  |-  (/)  e.  om
2 ssid 3359 . 2  |-  (/)  C_  (/)
3 ssnnfi 7320 . 2  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  C_  (/) )  ->  (/) 
e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  (/)  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725    C_ wss 3312   (/)c0 3620   omcom 4837   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  nfielex  7329  xpfi  7370  fnfi  7376  iunfi  7386  cantnf0  7622  cantnf  7641  r1fin  7691  acndom  7924  numwdom  7932  ackbij1lem18  8109  sdom2en01  8174  fin23lem26  8197  isfin1-3  8258  gchxpidm  8536  fzfi  11303  fzofi  11305  hasheq0  11636  hashxp  11689  0hashbc  13367  acsfn0  13877  isdrs2  14388  fpwipodrs  14582  dprdsubg  15574  psrbas  16435  psrlidm  16459  psrridm  16460  mplsubg  16492  mpllss  16493  psrbag0  16546  fctop  17060  cmpfi  17463  bwth  17465  ptbasid  17599  cfinfil  17917  ufinffr  17953  fin1aufil  17956  alexsubALTlem2  18071  alexsubALTlem4  18073  ptcmplem2  18076  tsmsfbas  18149  tsms0  18163  tgptsmscls  18171  xrge0gsumle  18856  xrge0tsms  18857  fta1  20217  dchrptlem3  21042  xrge0tsmsd  24215  esumnul  24435  esum0  24436  esumcst  24447  esumsn  24448  esumpcvgval  24460  sibf0  24641  derang0  24847  comppfsc  26368  0totbnd  26463  heiborlem6  26506  mzpcompact2lem  26789  dsmm0cl  27164  symgfisg  27367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-en 7102  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator