MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fin Unicode version

Theorem 0fin 7274
Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
0fin  |-  (/)  e.  Fin

Proof of Theorem 0fin
StepHypRef Expression
1 peano1 4806 . 2  |-  (/)  e.  om
2 ssid 3312 . 2  |-  (/)  C_  (/)
3 ssnnfi 7266 . 2  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  C_  (/) )  ->  (/) 
e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  (/)  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717    C_ wss 3265   (/)c0 3573   omcom 4787   Fincfn 7047
This theorem is referenced by:  nfielex  7275  xpfi  7316  fnfi  7322  iunfi  7332  cantnf0  7565  cantnf  7584  r1fin  7634  acndom  7867  numwdom  7875  ackbij1lem18  8052  sdom2en01  8117  fin23lem26  8140  isfin1-3  8201  gchxpidm  8479  fzfi  11240  fzofi  11242  hasheq0  11573  hashxp  11626  0hashbc  13304  acsfn0  13814  isdrs2  14325  fpwipodrs  14519  dprdsubg  15511  psrbas  16372  psrlidm  16396  psrridm  16397  mplsubg  16429  mpllss  16430  psrbag0  16483  fctop  16993  cmpfi  17395  ptbasid  17530  cfinfil  17848  ufinffr  17884  fin1aufil  17887  alexsubALTlem2  18002  alexsubALTlem4  18004  ptcmplem2  18007  tsmsfbas  18080  tsms0  18094  tgptsmscls  18102  xrge0gsumle  18737  xrge0tsms  18738  fta1  20094  dchrptlem3  20919  xrge0tsmsd  24054  esumnul  24241  esum0  24242  esumcst  24253  esumsn  24254  esumpcvgval  24266  derang0  24636  comppfsc  26080  0totbnd  26175  heiborlem6  26218  mzpcompact2lem  26501  dsmm0cl  26877  symgfisg  27080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-en 7048  df-fin 7051
  Copyright terms: Public domain W3C validator