MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fin Unicode version

Theorem 0fin 7103
Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
0fin  |-  (/)  e.  Fin

Proof of Theorem 0fin
StepHypRef Expression
1 peano1 4691 . 2  |-  (/)  e.  om
2 ssid 3210 . 2  |-  (/)  C_  (/)
3 ssnnfi 7098 . 2  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  C_  (/) )  ->  (/) 
e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 653 1  |-  (/)  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696    C_ wss 3165   (/)c0 3468   omcom 4672   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  xpfi  7144  fnfi  7150  iunfi  7160  cantnf0  7392  cantnf  7411  r1fin  7461  acndom  7694  numwdom  7702  ackbij1lem18  7879  sdom2en01  7944  fin23lem26  7967  isfin1-3  8028  gchxpidm  8307  fzfi  11050  fzofi  11052  hasheq0  11369  hashxp  11402  0hashbc  13070  acsfn0  13578  isdrs2  14089  fpwipodrs  14283  dprdsubg  15275  psrbas  16140  psrlidm  16164  psrridm  16165  mplsubg  16197  mpllss  16198  psrbag0  16251  fctop  16757  cmpfi  17151  ptbasid  17286  cfinfil  17604  ufinffr  17640  fin1aufil  17643  alexsubALTlem2  17758  alexsubALTlem4  17760  ptcmplem2  17763  tsmsfbas  17826  tsms0  17840  tgptsmscls  17848  xrge0gsumle  18354  xrge0tsms  18355  fta1  19704  dchrptlem3  20521  xrge0tsmsd  23397  esumnul  23442  esum0  23443  esumcst  23451  esumsn  23452  esumpcvgval  23461  indf1ofs  23624  derang0  23715  fixpc  25197  bwt2  25695  comppfsc  26410  0totbnd  26600  heiborlem6  26643  mzpcompact2lem  26932  dsmm0cl  27309  symgfisg  27512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-en 6880  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator