MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Unicode version

Theorem 0frgp 15412
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g  |-  G  =  (freeGrp `  (/) )
0frgp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
0frgp  |-  B  ~~  1o

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptresid 5196 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  x )  =  (  _I  |`  B )
2 0ex 4340 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
3 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  (freeGrp `  (/) )
43frgpgrp 15395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
52, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e. 
Grp
6 f0 5628 . . . . . . . . . . 11  |-  (/) : (/) --> B
7 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~FG  `  (/) )  =  ( ~FG  `  (/) )
9 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (varFGrp `  (/) )  =  (varFGrp `  (/) )
108, 9, 3, 7vrgpf 15401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (varFGrp `  (/) ) : (/) --> B )
11 ffn 5592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (varFGrp `  (/) ) : (/) --> B  -> 
(varFGrp `  (/) )  Fn  (/) )
122, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (varFGrp `  (/) )  Fn  (/)
13 fn0 5565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (varFGrp `  (/) )  Fn  (/)  <->  (varFGrp `  (/) )  =  (/) )
1412, 13mpbi 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (varFGrp `  (/) )  =  (/)
1514eqcomi 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  =  (varFGrp `  (/) )
163, 7, 15frgpup3 15411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  (/) 
e.  _V  /\  (/) : (/) --> B )  ->  E! f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/) )
175, 2, 6, 16mp3an 1280 . . . . . . . . . 10  |-  E! f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)
18 reurmo 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! f  e.  ( G 
GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)  ->  E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)
207idghm 15022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G ) )
215, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )
22 tru 1331 . . . . . . . . . 10  |-  T.
2321, 22pm3.2i 443 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\  T.  )
24 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2524, 70ghm 15021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  Grp )  ->  ( B  X.  {
( 0g `  G
) } )  e.  ( G  GrpHom  G ) )
265, 5, 25mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  { ( 0g
`  G ) } )  e.  ( G 
GrpHom  G )
2726, 22pm3.2i 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\  T.  )
28 co02 5384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  o.  (/) )  =  (/)
2928bitru 1336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  o.  (/) )  =  (/) 
<->  T.  )
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ( f  o.  (/) )  =  (/)  <->  T.  ) )
3129a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )  ->  ( ( f  o.  (/) )  =  (/)  <->  T.  ) )
3230, 31rmoi 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)  /\  ( (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\  T.  )  /\  (
( B  X.  {
( 0g `  G
) } )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\  T.  ) )  ->  (  _I  |`  B )  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } ) )
3319, 23, 27, 32mp3an 1280 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  B )  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )
34 fconstmpt 4922 . . . . . . . 8  |-  ( B  X.  { ( 0g
`  G ) } )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )
351, 33, 343eqtri 2461 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g `  G ) )
36 mpteqb 5820 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  x  e.  B  ->  ( ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G ) ) )
37 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  B )
3836, 37mprg 2776 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G ) )
3935, 38mpbi 201 . . . . . 6  |-  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G )
4039rspec 2771 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  =  ( 0g `  G ) )
41 elsn 3830 . . . . 5  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
4240, 41sylibr 205 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  { ( 0g `  G ) } )
4342ssriv 3353 . . 3  |-  B  C_  { ( 0g `  G
) }
447, 24grpidcl 14834 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
455, 44ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  e.  B
46 snssi 3943 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  B )
4745, 46ax-mp 8 . . 3  |-  { ( 0g `  G ) }  C_  B
4843, 47eqssi 3365 . 2  |-  B  =  { ( 0g `  G ) }
49 fvex 5743 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
5049ensn1 7172 . 2  |-  { ( 0g `  G ) }  ~~  1o
5148, 50eqbrtri 4232 1  |-  B  ~~  1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E!wreu 2708   E*wrmo 2709   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   (/)c0 3629   {csn 3815   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267    _I cid 4494    X. cxp 4877    |` cres 4881    o. ccom 4883    Fn wfn 5450   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   1oc1o 6718    ~~ cen 7107   Basecbs 13470   0gc0g 13724   Grpcgrp 14686    GrpHom cghm 15004   ~FG cefg 15339  freeGrpcfrgp 15340  varFGrpcvrgp 15341
This theorem is referenced by:  frgpcyg  16855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-ot 3825  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-ec 6908  df-qs 6912  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-word 11724  df-concat 11725  df-s1 11726  df-substr 11727  df-splice 11728  df-reverse 11729  df-s2 11813  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-imas 13735  df-divs 13736  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-frmd 14795  df-vrmd 14796  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-ghm 15005  df-efg 15342  df-frgp 15343  df-vrgp 15344
  Copyright terms: Public domain W3C validator