MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Unicode version

Theorem 0frgp 15104
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g  |-  G  =  (freeGrp `  (/) )
0frgp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
0frgp  |-  B  ~~  1o

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptresid 5020 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  x )  =  (  _I  |`  B )
2 0ex 4166 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
3 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  (freeGrp `  (/) )
43frgpgrp 15087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
52, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e. 
Grp
6 f0 5441 . . . . . . . . . . 11  |-  (/) : (/) --> B
7 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~FG  `  (/) )  =  ( ~FG  `  (/) )
9 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (varFGrp `  (/) )  =  (varFGrp `  (/) )
108, 9, 3, 7vrgpf 15093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (varFGrp `  (/) ) : (/) --> B )
11 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (varFGrp `  (/) ) : (/) --> B  -> 
(varFGrp `  (/) )  Fn  (/) )
122, 10, 11mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (varFGrp `  (/) )  Fn  (/)
13 fn0 5379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (varFGrp `  (/) )  Fn  (/)  <->  (varFGrp `  (/) )  =  (/) )
1412, 13mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (varFGrp `  (/) )  =  (/)
1514eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  =  (varFGrp `  (/) )
163, 7, 15frgpup3 15103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  (/) 
e.  _V  /\  (/) : (/) --> B )  ->  E! f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/) )
175, 2, 6, 16mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  E! f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)
18 reurmo 2768 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! f  e.  ( G 
GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)  ->  E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)
207idghm 14714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G ) )
215, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )
22 tru 1312 . . . . . . . . . 10  |-  T.
2321, 22pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\  T.  )
24 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2524, 70ghm 14713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  Grp )  ->  ( B  X.  {
( 0g `  G
) } )  e.  ( G  GrpHom  G ) )
265, 5, 25mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  { ( 0g
`  G ) } )  e.  ( G 
GrpHom  G )
2726, 22pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\  T.  )
28 co02 5202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  o.  (/) )  =  (/)
2928bitru 1317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  o.  (/) )  =  (/) 
<->  T.  )
3029a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ( f  o.  (/) )  =  (/)  <->  T.  ) )
3129a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )  ->  ( ( f  o.  (/) )  =  (/)  <->  T.  ) )
3230, 31rmoi 3093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)  /\  ( (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\  T.  )  /\  (
( B  X.  {
( 0g `  G
) } )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\  T.  ) )  ->  (  _I  |`  B )  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } ) )
3319, 23, 27, 32mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  B )  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )
34 fconstmpt 4748 . . . . . . . 8  |-  ( B  X.  { ( 0g
`  G ) } )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )
351, 33, 343eqtri 2320 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g `  G ) )
36 mpteqb 5630 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  x  e.  B  ->  ( ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G ) ) )
37 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  B )
3836, 37mprg 2625 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G ) )
3935, 38mpbi 199 . . . . . 6  |-  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G )
4039rspec 2620 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  =  ( 0g `  G ) )
41 elsn 3668 . . . . 5  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
4240, 41sylibr 203 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  { ( 0g `  G ) } )
4342ssriv 3197 . . 3  |-  B  C_  { ( 0g `  G
) }
447, 24grpidcl 14526 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
455, 44ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  e.  B
46 snssi 3775 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  B )
4745, 46ax-mp 8 . . 3  |-  { ( 0g `  G ) }  C_  B
4843, 47eqssi 3208 . 2  |-  B  =  { ( 0g `  G ) }
49 fvex 5555 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
5049ensn1 6941 . 2  |-  { ( 0g `  G ) }  ~~  1o
5148, 50eqbrtri 4058 1  |-  B  ~~  1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E!wreu 2558   E*wrmo 2559   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488    ~~ cen 6876   Basecbs 13164   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378    GrpHom cghm 14696   ~FG cefg 15031  freeGrpcfrgp 15032  varFGrpcvrgp 15033
This theorem is referenced by:  frgpcyg  16543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-s1 11427  df-substr 11428  df-splice 11429  df-reverse 11430  df-s2 11514  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-frmd 14487  df-vrmd 14488  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ghm 14697  df-efg 15034  df-frgp 15035  df-vrgp 15036
  Copyright terms: Public domain W3C validator