MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0hashbc Structured version   Unicode version

Theorem 0hashbc 13365
Description: There are no subsets of the empty set with size greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
Assertion
Ref Expression
0hashbc  |-  ( N  e.  NN  ->  ( (/) C N )  =  (/) )
Distinct variable groups:    a, b,
i    N, a, i
Allowed substitution hints:    C( i, a, b)    N( b)

Proof of Theorem 0hashbc
StepHypRef Expression
1 0fin 7328 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2 nnnn0 10218 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 ramval.c . . . . 5  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
43hashbc2 13364 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  ( ( # `  (/) )  _C  N ) )
51, 2, 4sylancr 645 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  ( ( # `  (/) )  _C  N ) )
6 hash0 11636 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
76oveq1i 6083 . . . 4  |-  ( (
# `  (/) )  _C  N )  =  ( 0  _C  N )
8 bc0k 11592 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  _C  N )  =  0 )
97, 8syl5eq 2479 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( # `  (/) )  _C  N )  =  0 )
105, 9eqtrd 2467 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  0 )
11 ovex 6098 . . 3  |-  ( (/) C N )  e.  _V
12 hasheq0 11634 . . 3  |-  ( (
(/) C N )  e.  _V  ->  (
( # `  ( (/) C N ) )  =  0  <->  ( (/) C N )  =  (/) ) )
1311, 12ax-mp 8 . 2  |-  ( (
# `  ( (/) C N ) )  =  0  <-> 
( (/) C N )  =  (/) )
1410, 13sylib 189 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( (/) C N )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   Fincfn 7101   0cc0 8980   NNcn 9990   NN0cn0 10211    _C cbc 11583   #chash 11608
This theorem is referenced by:  ramz2  13382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-seq 11314  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609
  Copyright terms: Public domain W3C validator