Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0hf Structured version   Unicode version

Theorem 0hf 26118
Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0hf  |-  (/)  e. Hf

Proof of Theorem 0hf
StepHypRef Expression
1 peano1 4864 . . . 4  |-  (/)  e.  om
2 peano2 4865 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  ->  suc  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  suc  (/)  e.  om
4 0elpw 4369 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P ( R1 `  (/) )
5 0elon 4634 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
6 r1suc 7696 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( R1 ` 
suc  (/) )  =  ~P ( R1 `  (/) ) )
75, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  (/) )  =  ~P ( R1 `  (/) )
84, 7eleqtrri 2509 . . 3  |-  (/)  e.  ( R1 `  suc  (/) )
9 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  (/)  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  suc  (/) ) )
109eleq2d 2503 . . . 4  |-  ( x  =  suc  (/)  ->  ( (/) 
e.  ( R1 `  x )  <->  (/)  e.  ( R1 `  suc  (/) ) ) )
1110rspcev 3052 . . 3  |-  ( ( suc  (/)  e.  om  /\  (/) 
e.  ( R1 `  suc  (/) ) )  ->  E. x  e.  om  (/) 
e.  ( R1 `  x ) )
123, 8, 11mp2an 654 . 2  |-  E. x  e.  om  (/)  e.  ( R1
`  x )
13 elhf 26115 . 2  |-  ( (/)  e. Hf 
<->  E. x  e.  om  (/) 
e.  ( R1 `  x ) )
1412, 13mpbir 201 1  |-  (/)  e. Hf
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   Oncon0 4581   suc csuc 4583   omcom 4845   ` cfv 5454   R1cr1 7688   Hf chf 26113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-r1 7690  df-hf 26114
  Copyright terms: Public domain W3C validator