Theorem 0idsr 5189

Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals.

Assertion

Ref	Expression
0idsr	|- (A e. R. -> (A +R 0R) = A)

Proof of Theorem 0idsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5150	. 2 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		opreq1 3963	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R +R 0R) = (A +R 0R))
3		id 59	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> [<.x, y>.] ~R = A)
4	2, 3	eqeq12d 1487	. 2 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (([<.x, y>.] ~R +R 0R) = [<.x, y>.] ~R <-> (A +R 0R) = A))
5		1pr 5100	. . . . . 6 |- 1P e. P.
6	5, 5	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (1P e. P. /\ 1P e. P.)
7		addsrpr 5167	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
8	6, 7	mpan2 695	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
9		addclpr 5103	. . . . . . 7 |- ((x e. P. /\ 1P e. P.) -> (x +P. 1P) e. P.)
10	5, 9	mpan2 695	. . . . . 6 |- (x e. P. -> (x +P. 1P) e. P.)
11		addclpr 5103	. . . . . . 7 |- ((y e. P. /\ 1P e. P.) -> (y +P. 1P) e. P.)
12	5, 11	mpan2 695	. . . . . 6 |- (y e. P. -> (y +P. 1P) e. P.)
13	10, 12	anim12i 333	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ((x +P. 1P) e. P. /\ (y +P. 1P) e. P.))
14		visset 1810	. . . . . . 7 |- x e. V
15		visset 1810	. . . . . . 7 |- y e. V
16	5	elisseti 1815	. . . . . . 7 |- 1P e. V
17		visset 1810	. . . . . . . 8 |- z e. V
18		visset 1810	. . . . . . . 8 |- w e. V
19	17, 18	addcompr 5106	. . . . . . 7 |- (z +P. w) = (w +P. z)
20		visset 1810	. . . . . . . 8 |- v e. V
21	18, 20	addasspr 5107	. . . . . . 7 |- ((z +P. w) +P. v) = (z +P. (w +P. v))
22	14, 15, 16, 19, 21	caopr12 4056	. . . . . 6 |- (x +P. (y +P. 1P)) = (y +P. (x +P. 1P))
23		enreceq 5160	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((x +P. 1P) e. P. /\ (y +P. 1P) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R <-> (x +P. (y +P. 1P)) = (y +P. (x +P. 1P))))
24	22, 23	mpbiri 194	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((x +P. 1P) e. P. /\ (y +P. 1P) e. P.)) -> [<.x, y>.] ~R = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
25	13, 24	mpdan 703	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> [<.x, y>.] ~R = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
26	8, 25	eqtr4d 1508	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.x, y>.] ~R )
27		df-0r 5154	. . . 4 |- 0R = [<.1P, 1P>.] ~R
28	27	opreq2i 3967	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R +R 0R) = ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R )
29	26, 28	syl5eq 1517	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R +R 0R) = [<.x, y>.] ~R )
30	1, 4, 29	ecoptocl 4296	1 |- (A e. R. -> (A +R 0R) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  <.cop 2408  (class class class)co 3958  [cec 4252  P.cnp 4968  1Pc1p 4969   +P. cpp 4970   ~R cer 4975  R.cnr 4976  0Rc0r 4977   +R cplr 4980

This theorem is referenced by:  addgt0sr 5196  sqgt0sr 5198  ssgt0sr 5200  supsrlem2 5209  supsrlem5 5212  addresr 5239  mulresr 5240  ax0id 5264  ax1id 5265  axi2m1 5268  axcnre 5269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-0r 5154

Copyright terms: Public domain