HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0lnfn Unicode version

Theorem 0lnfn 23338
Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lnfn  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn

Proof of Theorem 0lnfn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9019 . . 3  |-  0  e.  CC
21fconst6 5575 . 2  |-  ( ~H 
X.  { 0 } ) : ~H --> CC
3 hvmulcl 22366 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
4 hvaddcl 22365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
53, 4sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
6 c0ex 9020 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
76fvconst2 5888 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  0 )
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  0 )
96fvconst2 5888 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y )  =  0 )
109oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  x.  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  y
) )  =  ( x  x.  0 ) )
11 mul01 9179 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
1210, 11sylan9eqr 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  x.  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) )  =  0 )
136fvconst2 5888 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  z )  =  0 )
1412, 13oveqan12d 6041 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) )  =  ( 0  +  0 ) )
15 00id 9175 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1614, 15syl6eq 2437 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) )  =  0 )
178, 16eqtr4d 2424 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) ) )
18173impa 1148 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  x.  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 z ) ) )
1918rgen3 2748 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) )  +  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  z ) )
20 ellnfn 23236 . 2  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  <->  (
( ~H  X.  {
0 } ) : ~H --> CC  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) ) ) )
212, 19, 20mpbir2an 887 1  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   {csn 3759    X. cxp 4818   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925    + caddc 8928    x. cmul 8930   ~Hchil 22272    +h cva 22273    .h csm 22274   LinFnclf 22307
This theorem is referenced by:  nmfn0  23340  lnfn0  23400  lnfnmul  23401  nmbdfnlb  23403  nmcfnex  23406  nmcfnlb  23407  lnfncon  23409  riesz4  23417  riesz1  23418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-hilex 22352  ax-hfvadd 22353  ax-hfvmul 22358
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-ltxr 9060  df-lnfn 23201
  Copyright terms: Public domain W3C validator