Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lno Unicode version

Theorem 0lno 21384
 Description: The zero operator is linear. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0lno.0
0lno.7
Assertion
Ref Expression
0lno

Proof of Theorem 0lno
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3
2 eqid 2296 . . 3
3 0lno.0 . . 3
41, 2, 30oo 21383 . 2
5 simplll 734 . . . . . 6
6 simpllr 735 . . . . . 6
7 simplr 731 . . . . . . . 8
8 simprl 732 . . . . . . . 8
9 eqid 2296 . . . . . . . . 9
101, 9nvscl 21200 . . . . . . . 8
115, 7, 8, 10syl3anc 1182 . . . . . . 7
12 simprr 733 . . . . . . 7
13 eqid 2296 . . . . . . . 8
141, 13nvgcl 21192 . . . . . . 7
155, 11, 12, 14syl3anc 1182 . . . . . 6
16 eqid 2296 . . . . . . 7
171, 16, 30oval 21382 . . . . . 6
185, 6, 15, 17syl3anc 1182 . . . . 5
191, 16, 30oval 21382 . . . . . . . . 9
205, 6, 8, 19syl3anc 1182 . . . . . . . 8
2120oveq2d 5890 . . . . . . 7
221, 16, 30oval 21382 . . . . . . . 8
235, 6, 12, 22syl3anc 1182 . . . . . . 7
2421, 23oveq12d 5892 . . . . . 6
25 eqid 2296 . . . . . . . . 9
2625, 16nvsz 21212 . . . . . . . 8
276, 7, 26syl2anc 642 . . . . . . 7
2827oveq1d 5889 . . . . . 6
292, 16nvzcl 21208 . . . . . . . 8
306, 29syl 15 . . . . . . 7
31 eqid 2296 . . . . . . . 8
322, 31, 16nv0rid 21209 . . . . . . 7
336, 30, 32syl2anc 642 . . . . . 6
3424, 28, 333eqtrd 2332 . . . . 5
3518, 34eqtr4d 2331 . . . 4
3635ralrimivva 2648 . . 3
3736ralrimiva 2639 . 2
38 0lno.7 . . 3
391, 2, 13, 31, 9, 25, 38islno 21347 . 2
404, 37, 39mpbir2and 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cnv 21156  cpv 21157  cba 21158  cns 21159  cn0v 21160   clno 21334   c0o 21337 This theorem is referenced by:  0blo  21386  nmlno0i  21388  blocn  21401 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172  df-lno 21338  df-0o 21341
 Copyright terms: Public domain W3C validator