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Theorem 0lno 22291
Description: The zero operator is linear. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0lno.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
0lno.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
0lno  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  e.  L )

Proof of Theorem 0lno
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 eqid 2436 . . 3  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
3 0lno.0 . . 3  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
41, 2, 30oo 22290 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
5 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
6 simpllr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
7 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  x  e.  CC )
8 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
9 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
101, 9nvscl 22107 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .s OLD `  U
) y )  e.  ( BaseSet `  U )
)
115, 7, 8, 10syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  U
) y )  e.  ( BaseSet `  U )
)
12 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
13 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
141, 13nvgcl 22099 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( .s OLD `  U ) y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
155, 11, 12, 14syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
16 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
171, 16, 30oval 22289 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
185, 6, 15, 17syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
191, 16, 30oval 22289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  y )  =  (
0vec `  W )
)
205, 6, 8, 19syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  y )  =  (
0vec `  W )
)
2120oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) )  =  ( x ( .s
OLD `  W )
( 0vec `  W )
) )
221, 16, 30oval 22289 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  z )  =  (
0vec `  W )
)
235, 6, 12, 22syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  z )  =  (
0vec `  W )
)
2421, 23oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( Z `
 y ) ) ( +v `  W
) ( Z `  z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( 0vec `  W
) ) ( +v
`  W ) (
0vec `  W )
) )
25 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
2625, 16nvsz 22119 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ( .s OLD `  W ) ( 0vec `  W ) )  =  ( 0vec `  W
) )
276, 7, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  W
) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
2827oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( 0vec `  W ) ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  ( ( 0vec `  W
) ( +v `  W ) ( 0vec `  W ) ) )
292, 16nvzcl 22115 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
306, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W ) )
31 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
322, 31, 16nv0rid 22116 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( 0vec `  W )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( 0vec `  W ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
336, 30, 32syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( ( 0vec `  W ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
3424, 28, 333eqtrd 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( Z `
 y ) ) ( +v `  W
) ( Z `  z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
3518, 34eqtr4d 2471 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
3635ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  ->  A. y  e.  (
BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet `  U ) ( Z `
 ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
3736ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
38 0lno.7 . . 3  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
391, 2, 13, 31, 9, 25, 38islno 22254 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( Z  e.  L  <->  ( Z : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) ) ) )
404, 37, 39mpbir2and 889 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  e.  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   NrmCVeccnv 22063   +vcpv 22064   BaseSetcba 22065   .s
OLDcns 22066   0veccn0v 22067    LnOp clno 22241    0op c0o 22244
This theorem is referenced by:  0blo  22293  nmlno0i  22295  blocn  22308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-nmcv 22079  df-lno 22245  df-0o 22248
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