Theorem 0lt1 9229

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8770	. . 3 |- 1 e. RR
2		ax-1ne0 8739	. . 3 |- 1 =/= 0
3		msqgt0 9227	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 =/= 0 ) -> 0 < ( 1 x. 1 ) )
4	1, 2, 3	mp2an 656	. 2 |- 0 < ( 1 x. 1 )
5		ax-1cn 8728	. . 3 |- 1 e. CC
6	5	mulid1i 8772	. 2 |- ( 1 x. 1 ) = 1
7	4, 6	breqtri 3986	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   e. wcel 1621   =/= wne 2419   class class class wbr 3963  (class class class)co 5757   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671   x. cmul 8675   < clt 8800

This theorem is referenced by:  0le1  9230  eqneg  9413  elimgt0  9525  ltp1  9527  ltm1  9529  recgt0  9533  mulgt1  9548  reclt1  9584  recgt1  9585  recgt1i  9586  recp1lt1  9587  recreclt  9588  recgt0ii  9595  inelr  9669  nnge1  9705  nngt0  9708  0nnn  9710  nnrecgt0  9716  2pos  9761  3pos  9763  4pos  9765  5pos  9766  6pos  9767  7pos  9768  8pos  9769  9pos  9770  10pos  9771  halflt1  9865  elnnnn0c  9941  elnnz1  9981  recnz  10019  1rp  10290  xmulid1  10530  fz10  10745  1mod  10927  expgt1  11071  ltexp2a  11084  expcan  11085  ltexp2  11086  leexp2  11087  leexp2a  11088  expnbnd  11161  expnlbnd  11162  expnlbnd2  11163  expmulnbnd  11164  discr1  11168  bcn1  11256  s2fv0  11465  resqrex  11666  mulcn2  11999  cvgrat  12266  cos1bnd  12394  sin01gt0  12397  sincos1sgn  12400  ruclem8  12442  nthruz  12457  sadcadd  12576  divdenle  12747  43prm  13050  ipostr  14183  abvtrivd  15532  gzrngunit  16364  znidomb  16442  thlle  16524  leordtval2  16869  mopnex  17992  dscopn  18023  metnrmlem1a  18289  xrhmph  18372  evth  18384  xlebnum  18390  vitalilem4  18893  vitalilem5  18894  vitali  18895  ply1remlem  19475  plyremlem  19611  plyrem  19612  vieta1lem2  19618  reeff1olem  19749  sinhalfpilem  19761  rplogcl  19885  logtayllem  19933  cxplt  19968  cxple  19969  atanre  20108  atanlogaddlem  20136  ressatans  20157  rlimcnp  20187  rlimcnp2  20188  cxp2limlem  20197  cxp2lim  20198  cxploglim2  20200  amgmlem  20211  emcllem2  20217  harmonicubnd  20230  fsumharmonic  20232  ftalem1  20237  ftalem2  20238  chpchtsum  20385  chpub  20386  mersenne  20393  perfectlem2  20396  efexple  20447  lgsdir2lem3  20491  chebbnd1  20548  dchrmusumlema  20569  dchrvmasumlem2  20574  dchrvmasumiflem1  20577  dchrisum0flblem2  20585  dchrisum0lema  20590  dchrisum0lem1  20592  dchrisum0lem2a  20593  mulog2sumlem1  20610  chpdifbndlem1  20629  chpdifbnd  20631  selberg3lem1  20633  pntrmax  20640  pntrsumo1  20641  pntpbnd1a  20661  pntpbnd2  20663  pntibndlem1  20665  pntlem3  20685  pnt  20690  ostth2lem1  20694  ostth2lem3  20711  ostth2lem4  20712  ballotlemi1  22987  ballotlemic  22991  ballotlem1c  22992  zetacvg  23026  fz0n  23433  axcontlem2  23933  bpoly4  24134  pellexlem2  26247  pellexlem6  26251  pell14qrgt0  26276  elpell1qr2  26289  pellfundex  26303  pellfundrp  26305  rmxypos  26366  stoweidlem7  27056  stoweidlem34  27083  stoweidlem36  27085  stoweidlem38  27087  stoweidlem42  27091  stoweidlem44  27093  stoweidlem51  27100  stoweidlem59  27108  sgn1  27261

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973