MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1 Unicode version

Theorem 0lt1 9298
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1  |-  0  <  1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 1re 8839 . . 3  |-  1  e.  RR
2 ax-1ne0 8808 . . 3  |-  1  =/=  0
3 msqgt0 9296 . . 3  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  =/=  0 )  -> 
0  <  ( 1  x.  1 ) )
41, 2, 3mp2an 653 . 2  |-  0  <  ( 1  x.  1 )
5 ax-1cn 8797 . . 3  |-  1  e.  CC
65mulid1i 8841 . 2  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
74, 6breqtri 4048 1  |-  0  <  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1686    =/= wne 2448   class class class wbr 4025  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    x. cmul 8744    < clt 8869
This theorem is referenced by:  0le1  9299  eqneg  9482  elimgt0  9594  ltp1  9596  ltm1  9598  recgt0  9602  mulgt1  9617  reclt1  9653  recgt1  9654  recgt1i  9655  recp1lt1  9656  recreclt  9657  recgt0ii  9664  inelr  9738  nnge1  9774  nngt0  9777  0nnn  9779  nnrecgt0  9785  2pos  9830  3pos  9832  4pos  9834  5pos  9835  6pos  9836  7pos  9837  8pos  9838  9pos  9839  10pos  9840  halflt1  9935  elnnnn0c  10011  elnnz1  10051  recnz  10089  1rp  10360  xmulid1  10601  fz10  10816  1mod  10998  expgt1  11142  ltexp2a  11155  expcan  11156  ltexp2  11157  leexp2  11158  leexp2a  11159  expnbnd  11232  expnlbnd  11233  expnlbnd2  11234  expmulnbnd  11235  discr1  11239  bcn1  11327  s2fv0  11537  resqrex  11738  mulcn2  12071  cvgrat  12341  cos1bnd  12469  sin01gt0  12472  sincos1sgn  12475  ruclem8  12517  nthruz  12532  sadcadd  12651  divdenle  12822  43prm  13125  ipostr  14258  abvtrivd  15607  gzrngunit  16439  znidomb  16517  thlle  16599  leordtval2  16944  mopnex  18067  dscopn  18098  metnrmlem1a  18364  xrhmph  18447  evth  18459  xlebnum  18465  vitalilem4  18968  vitalilem5  18969  vitali  18970  ply1remlem  19550  plyremlem  19686  plyrem  19687  vieta1lem2  19693  reeff1olem  19824  sinhalfpilem  19836  rplogcl  19960  logtayllem  20008  cxplt  20043  cxple  20044  atanre  20183  atanlogaddlem  20211  ressatans  20232  rlimcnp  20262  rlimcnp2  20263  cxp2limlem  20272  cxp2lim  20273  cxploglim2  20275  amgmlem  20286  emcllem2  20292  harmonicubnd  20305  fsumharmonic  20307  ftalem1  20312  ftalem2  20313  chpchtsum  20460  chpub  20461  mersenne  20468  perfectlem2  20471  efexple  20522  lgsdir2lem3  20566  chebbnd1  20623  dchrmusumlema  20644  dchrvmasumlem2  20649  dchrvmasumiflem1  20652  dchrisum0flblem2  20660  dchrisum0lema  20665  dchrisum0lem1  20667  dchrisum0lem2a  20668  mulog2sumlem1  20685  chpdifbndlem1  20704  chpdifbnd  20706  selberg3lem1  20708  pntrmax  20715  pntrsumo1  20716  pntpbnd1a  20736  pntpbnd2  20738  pntibndlem1  20740  pntlem3  20760  pnt  20765  ostth2lem1  20769  ostth2lem3  20786  ostth2lem4  20787  ballotlemi1  23063  ballotlemic  23067  ballotlem1c  23068  esumcst  23438  hasheuni  23455  zetacvg  23691  fz0n  24099  axcontlem2  24595  bpoly4  24796  areacirclem5  24940  pellexlem2  26926  pellexlem6  26930  pell14qrgt0  26955  elpell1qr2  26968  pellfundex  26982  pellfundrp  26984  rmxypos  27045  stoweidlem7  27767  stoweidlem34  27794  stoweidlem36  27796  stoweidlem38  27798  stoweidlem42  27802  stoweidlem44  27804  stoweidlem51  27811  stoweidlem59  27819  stirlinglem5  27838  stirlinglem6  27839  stirlinglem7  27840  stirlinglem10  27843  stirlinglem11  27844  stirlinglem12  27845  stirlinglem15  27848  sgn1  28260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042
  Copyright terms: Public domain W3C validator