Theorem 0lt1 9506

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9046	. . 3 |- 1 e. RR
2		ax-1ne0 9015	. . 3 |- 1 =/= 0
3		msqgt0 9504	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 =/= 0 ) -> 0 < ( 1 x. 1 ) )
4	1, 2, 3	mp2an 654	. 2 |- 0 < ( 1 x. 1 )
5		ax-1cn 9004	. . 3 |- 1 e. CC
6	5	mulid1i 9048	. 2 |- ( 1 x. 1 ) = 1
7	4, 6	breqtri 4195	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   e. wcel 1721   =/= wne 2567   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   < clt 9076

This theorem is referenced by:  0le1  9507  eqneg  9690  elimgt0  9802  ltp1  9804  ltm1  9806  recgt0  9810  mulgt1  9825  reclt1  9861  recgt1  9862  recgt1i  9863  recp1lt1  9864  recreclt  9865  recgt0ii  9872  inelr  9946  nnge1  9982  nngt0  9985  0nnn  9987  nnrecgt0  9993  2pos  10038  3pos  10040  4pos  10042  5pos  10043  6pos  10044  7pos  10045  8pos  10046  9pos  10047  10pos  10048  halflt1  10145  elnnnn0c  10221  elnnz1  10263  recnz  10301  1rp  10572  xmulid1  10814  fz10  11031  elfznelfzob  11148  1mod  11228  expgt1  11373  ltexp2a  11386  expcan  11387  ltexp2  11388  leexp2  11389  leexp2a  11390  expnbnd  11463  expnlbnd  11464  expnlbnd2  11465  expmulnbnd  11466  discr1  11470  bcn1  11559  hashnn0n0nn  11619  brfi1uzind  11670  s2fv0  11804  resqrex  12011  mulcn2  12344  cvgrat  12615  cos1bnd  12743  sin01gt0  12746  sincos1sgn  12749  ruclem8  12791  nthruz  12806  sadcadd  12925  divdenle  13096  43prm  13399  ipostr  14534  abvtrivd  15883  gzrngunit  16719  znidomb  16797  thlle  16879  leordtval2  17230  mopnex  18502  dscopn  18574  metnrmlem1a  18841  xrhmph  18925  evth  18937  xlebnum  18943  vitalilem4  19456  vitalilem5  19457  vitali  19458  ply1remlem  20038  plyremlem  20174  plyrem  20175  vieta1lem2  20181  reeff1olem  20315  sinhalfpilem  20327  rplogcl  20452  logtayllem  20503  cxplt  20538  cxple  20539  atanre  20678  atanlogaddlem  20706  ressatans  20727  rlimcnp  20757  rlimcnp2  20758  cxp2limlem  20767  cxp2lim  20768  cxploglim2  20770  amgmlem  20781  emcllem2  20788  harmonicubnd  20801  fsumharmonic  20803  ftalem1  20808  ftalem2  20809  chpchtsum  20956  chpub  20957  mersenne  20964  perfectlem2  20967  efexple  21018  lgsdir2lem3  21062  chebbnd1  21119  dchrmusumlema  21140  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumiflem1  21148  dchrisum0flblem2  21156  dchrisum0lema  21161  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  mulog2sumlem1  21181  chpdifbndlem1  21200  chpdifbnd  21202  selberg3lem1  21204  pntrmax  21211  pntrsumo1  21212  pntpbnd1a  21232  pntpbnd2  21234  pntibndlem1  21236  pntlem3  21256  pnt  21261  ostth2lem1  21265  ostth2lem3  21282  ostth2lem4  21283  spthispth  21526  usgrcyclnl1  21580  esumcst  24408  hasheuni  24428  ballotlemi1  24713  ballotlemic  24717  ballotlem1c  24718  zetacvg  24752  fz0n  25155  risefall0lem  25294  binomfallfaclem2  25307  axcontlem2  25808  bpoly4  26009  areacirclem5  26185  pellexlem2  26783  pellexlem6  26787  pell14qrgt0  26812  elpell1qr2  26825  pellfundex  26839  pellfundrp  26841  rmxypos  26902  stoweidlem7  27623  stoweidlem36  27652  stoweidlem38  27654  stoweidlem42  27658  stoweidlem51  27667  stoweidlem59  27675  stirlinglem5  27694  stirlinglem6  27695  stirlinglem7  27696  stirlinglem10  27699  stirlinglem11  27700  stirlinglem12  27701  stirlinglem15  27704  sgn1  28236

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250