MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1sr Structured version   Unicode version

Theorem 0lt1sr 9008
Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lt1sr  |-  0R  <R  1R

Proof of Theorem 0lt1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 8930 . . . . . 6  |-  1P  e.  P.
2 addclpr 8933 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
31, 1, 2mp2an 655 . . . . 5  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
4 ltaddpr 8949 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) )
53, 1, 4mp2an 655 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )
6 addcompr 8936 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  1P ) )  =  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )
75, 6breqtrri 4268 . . 3  |-  ( 1P 
+P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) )
8 ltsrpr 8990 . . 3  |-  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) )
97, 8mpbir 202 . 2  |-  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
10 df-0r 8977 . 2  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
11 df-1r 8978 . 2  |-  1R  =  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
129, 10, 113brtr4i 4271 1  |-  0R  <R  1R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1728   <.cop 3846   class class class wbr 4243  (class class class)co 6117   [cec 6939   P.cnp 8772   1Pc1p 8773    +P. cpp 8774    <P cltp 8776    ~R cer 8779   0Rc0r 8781   1Rc1r 8782    <R cltr 8786
This theorem is referenced by:  1ne0sr  9009  supsrlem  9024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-omul 6765  df-er 6941  df-ec 6943  df-qs 6947  df-ni 8787  df-pli 8788  df-mi 8789  df-lti 8790  df-plpq 8823  df-mpq 8824  df-ltpq 8825  df-enq 8826  df-nq 8827  df-erq 8828  df-plq 8829  df-mq 8830  df-1nq 8831  df-rq 8832  df-ltnq 8833  df-np 8896  df-1p 8897  df-plp 8898  df-ltp 8900  df-enr 8972  df-nr 8973  df-ltr 8976  df-0r 8977  df-1r 8978
  Copyright terms: Public domain W3C validator