MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1sr Unicode version

Theorem 0lt1sr 8905
Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lt1sr  |-  0R  <R  1R

Proof of Theorem 0lt1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 8827 . . . . . 6  |-  1P  e.  P.
2 addclpr 8830 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
31, 1, 2mp2an 654 . . . . 5  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
4 ltaddpr 8846 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) )
53, 1, 4mp2an 654 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )
6 addcompr 8833 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  1P ) )  =  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )
75, 6breqtrri 4180 . . 3  |-  ( 1P 
+P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) )
8 ltsrpr 8887 . . 3  |-  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) )
97, 8mpbir 201 . 2  |-  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
10 df-0r 8874 . 2  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
11 df-1r 8875 . 2  |-  1R  =  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
129, 10, 113brtr4i 4183 1  |-  0R  <R  1R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717   <.cop 3762   class class class wbr 4155  (class class class)co 6022   [cec 6841   P.cnp 8669   1Pc1p 8670    +P. cpp 8671    <P cltp 8673    ~R cer 8676   0Rc0r 8678   1Rc1r 8679    <R cltr 8683
This theorem is referenced by:  1ne0sr  8906  supsrlem  8921
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-ec 6845  df-qs 6849  df-ni 8684  df-pli 8685  df-mi 8686  df-lti 8687  df-plpq 8720  df-mpq 8721  df-ltpq 8722  df-enq 8723  df-nq 8724  df-erq 8725  df-plq 8726  df-mq 8727  df-1nq 8728  df-rq 8729  df-ltnq 8730  df-np 8793  df-1p 8794  df-plp 8795  df-ltp 8797  df-enr 8869  df-nr 8870  df-ltr 8873  df-0r 8874  df-1r 8875
  Copyright terms: Public domain W3C validator