MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nelfil Structured version   Unicode version

Theorem 0nelfil 17883
Description: The empty set doesn't belong to a filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0nelfil  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)

Proof of Theorem 0nelfil
StepHypRef Expression
1 filfbas 17882 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 0nelfb 17865 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
31, 2syl 16 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1726   (/)c0 3630   ` cfv 5456   fBascfbas 16691   Filcfil 17879
This theorem is referenced by:  fileln0  17884  isfil2  17890  infil  17897  filuni  17919  filufint  17954  rnelfmlem  17986  fmfnfm  17992  fclscmpi  18063
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-fbas 16701  df-fil 17880
  Copyright terms: Public domain W3C validator