Theorem 0nelxp 3230

Description: The empty set is not a member of a cross product.

Assertion

Ref	Expression
0nelxp	|- -. (/) e. (A X. B)

Proof of Theorem 0nelxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 2274	. . . . . 6 |- -. {x} e. (/)
2		opi1 2774	. . . . . . 7 |- {x} e. <.x, y>.
3		eleq2 1527	. . . . . . 7 |- ((/) = <.x, y>. -> ({x} e. (/) <-> {x} e. <.x, y>.))
4	2, 3	mpbiri 194	. . . . . 6 |- ((/) = <.x, y>. -> {x} e. (/))
5	1, 4	mto 106	. . . . 5 |- -. (/) = <.x, y>.
6	5	intnanr 690	. . . 4 |- -. ((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
7	6	nex 1097	. . 3 |- -. E.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
8	7	nex 1097	. 2 |- -. E.xE.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
9		elxp 3192	. 2 |- ((/) e. (A X. B) <-> E.xE.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)))
10	8, 9	mtbir 192	1 |- -. (/) e. (A X. B)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  (/)c0 2270  {csn 2399  <.cop 2401   X. cxp 3158

This theorem is referenced by:  onxpdisj 3231  nfunv 3532  funopg 3533  0ncn 5223

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657  df-xp 3174

Copyright terms: Public domain