Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0neqopab Unicode version

Theorem 0neqopab 28192
Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
0neqopab  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }

Proof of Theorem 0neqopab
StepHypRef Expression
1 elopab 4288 . . 3  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  E. x E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
2 nfopab1 4101 . . . . . 6  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
32nfel2 2444 . . . . 5  |-  F/ x (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
43nfn 1777 . . . 4  |-  F/ x  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
5 nfopab2 4102 . . . . . . 7  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
65nfel2 2444 . . . . . 6  |-  F/ y
(/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
76nfn 1777 . . . . 5  |-  F/ y  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
8 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
9 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
108, 9opnzi 4259 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  =/=  (/)
11 necom 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  <. x ,  y >. )
12 df-ne 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =/=  <. x ,  y
>. 
<->  -.  (/)  =  <. x ,  y >. )
1311, 12bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  <. x ,  y >. )
14 pm2.21 100 . . . . . . . 8  |-  ( -.  (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1513, 14sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1610, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
1716adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
187, 17exlimi 1813 . . . 4  |-  ( E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
194, 18exlimi 1813 . . 3  |-  ( E. x E. y (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
201, 19sylbi 187 . 2  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
21 id 19 . 2  |-  ( -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
2220, 21pm2.61i 156 1  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   <.cop 3656   {copab 4092
This theorem is referenced by:  brabv  28193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-opab 4094
  Copyright terms: Public domain W3C validator