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Theorem 0neqopab 6060
Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
0neqopab  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }

Proof of Theorem 0neqopab
StepHypRef Expression
1 elopab 4405 . . 3  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  E. x E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
2 nfopab1 4217 . . . . . 6  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
32nfel2 2537 . . . . 5  |-  F/ x (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
43nfn 1801 . . . 4  |-  F/ x  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
5 nfopab2 4218 . . . . . . 7  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
65nfel2 2537 . . . . . 6  |-  F/ y
(/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
76nfn 1801 . . . . 5  |-  F/ y  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
8 vex 2904 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
9 vex 2904 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
108, 9opnzi 4376 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  =/=  (/)
11 necom 2633 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  <. x ,  y >. )
12 df-ne 2554 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =/=  <. x ,  y
>. 
<->  -.  (/)  =  <. x ,  y >. )
1311, 12bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  <. x ,  y >. )
14 pm2.21 102 . . . . . . . 8  |-  ( -.  (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1513, 14sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1610, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
1716adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
187, 17exlimi 1811 . . . 4  |-  ( E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
194, 18exlimi 1811 . . 3  |-  ( E. x E. y (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
201, 19sylbi 188 . 2  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
21 id 20 . 2  |-  ( -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
2220, 21pm2.61i 158 1  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   (/)c0 3573   <.cop 3762   {copab 4208
This theorem is referenced by:  brabv  6061
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-opab 4210
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