MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nmhm Structured version   Unicode version

Theorem 0nmhm 18779
Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0nmhm.1  |-  V  =  ( Base `  S
)
0nmhm.2  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
0nmhm.f  |-  F  =  (Scalar `  S )
0nmhm.g  |-  G  =  (Scalar `  T )
Assertion
Ref Expression
0nmhm  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom  T
) )

Proof of Theorem 0nmhm
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 18704 . . 3  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
2 nlmlmod 18704 . . 3  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e.  LMod )
3 id 20 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  F  =  G )
4 0nmhm.2 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
5 0nmhm.1 . . . 4  |-  V  =  ( Base `  S
)
6 0nmhm.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  S )
7 0nmhm.g . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  T )
84, 5, 6, 70lmhm 16106 . . 3  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod  /\  F  =  G )  ->  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T ) )
91, 2, 3, 8syl3an 1226 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S LMHom  T
) )
10 nlmngp 18703 . . . 4  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
11 nlmngp 18703 . . . 4  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
125, 40nghm 18765 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
1310, 11, 12syl2an 464 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
14133adant3 977 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
15 isnmhm 18770 . . . 4  |-  ( ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  /\  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
1615baib 872 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
17163adant3 977 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
189, 14, 17mpbir2and 889 1  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3806    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459  Scalarcsca 13522   0gc0g 13713   LModclmod 15940   LMHom clmhm 16085  NrmGrpcngp 18615  NrmModcnlm 18618   NGHom cnghm 18730   NMHom cnmhm 18731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ico 10912  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-plusg 13532  df-topgen 13657  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-grp 14802  df-ghm 14994  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-lmod 15942  df-lmhm 16088  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-xms 18340  df-ms 18341  df-nm 18620  df-ngp 18621  df-nlm 18624  df-nmo 18732  df-nghm 18733  df-nmhm 18734
  Copyright terms: Public domain W3C validator