Theorem 0npq 5022

Description: The empty set is not a positive fraction.

Assertion

Ref	Expression
0npq	|- -. (/) e. Q.

Proof of Theorem 0npq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmenq 5017	. . 3 |- dom ~Q = (N. X. N.)
2	1	0nelqs 4282	. 2 |- -. (/) e. ((N. X. N.)/. ~Q )
3		df-nq 5010	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
4	3	eleq2i 1530	. 2 |- ((/) e. Q. <-> (/) e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
5	2, 4	mtbir 192	1 |- -. (/) e. Q.

Syntax hints:  -. wn 2   e. wcel 955  (/)c0 2270   X. cxp 3158  /.cqs 4244  N.cnpi 4944   ~Q ceq 4950  Q.cnq 4951

This theorem is referenced by:  dmaddpq 5031  dmmulpq 5033  addasspq 5035  mulasspq 5037  distrpq 5039  recmulpq 5042  recclpq 5044  ltapq 5048  ltmpq 5049  ltexpq 5052  ltexpq2 5053  nsmallpq 5055  ltbtwnpq 5056  ltaddpr 5112  ltexprlem2 5115  ltexprlem3 5116  ltexprlem4 5117  ltexprlem6 5119  ltexprlem7 5120  reclem1pr 5128  reclem2pr 5129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-mi 4974  df-enq 5009  df-nq 5010

Copyright terms: Public domain