MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0oo Unicode version

Theorem 0oo 21383
Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0oo.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
0oo.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
0oo.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
Assertion
Ref Expression
0oo  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : X --> Y )

Proof of Theorem 0oo
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( 0vec `  W )  e.  _V
21fconst 5443 . . . 4  |-  ( X  X.  { ( 0vec `  W ) } ) : X --> { (
0vec `  W ) }
3 0oo.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
4 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
53, 4nvzcl 21208 . . . . 5  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
65snssd 3776 . . . 4  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  { ( 0vec `  W ) }  C_  Y )
7 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( ( X  X.  {
( 0vec `  W ) } ) : X --> { ( 0vec `  W
) }  /\  {
( 0vec `  W ) }  C_  Y )  -> 
( X  X.  {
( 0vec `  W ) } ) : X --> Y )
82, 6, 7sylancr 644 . . 3  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( X  X.  { ( 0vec `  W
) } ) : X --> Y )
98adantl 452 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( X  X.  { ( 0vec `  W ) } ) : X --> Y )
10 0oo.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
11 0oo.0 . . . 4  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
1210, 4, 110ofval 21381 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  =  ( X  X.  { ( 0vec `  W
) } ) )
1312feq1d 5395 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( Z : X --> Y  <->  ( X  X.  { ( 0vec `  W
) } ) : X --> Y ) )
149, 13mpbird 223 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : X --> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   {csn 3653    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   0veccn0v 21160    0op c0o 21337
This theorem is referenced by:  0lno  21384  nmoo0  21385  nmlno0lem  21387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172  df-0o 21341
  Copyright terms: Public domain W3C validator