Theorem 0oo 8394

Description: The zero operator is an operator.

Hypotheses

Ref	Expression
0oo.1	|- X = (Base` U)
0oo.2	|- Y = (Base` W)
0oo.0	|- Z = (U 0op W)

Assertion

Ref	Expression
0oo	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:X-->Y)

Proof of Theorem 0oo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0oo.2	. . . . 5 |- Y = (Base` W)
2		eqid 1473	. . . . 5 |- (0v` W) = (0v` W)
3	1, 2	nvzcl 8207	. . . 4 |- (W e. NrmCVec -> (0v` W) e. Y)
4		snssi 2462	. . . 4 |- ((0v` W) e. Y -> {(0v` W)} (_ Y)
5		fvex 3723	. . . . . 6 |- (0v` W) e. V
6	5	fconst 3649	. . . . 5 |- (X X. {(0v` W)}):X-->{(0v` W)}
7		fss 3626	. . . . 5 |- (((X X. {(0v` W)}):X-->{(0v` W)} /\ {(0v` W)} (_ Y) -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
8	6, 7	mpan 694	. . . 4 |- ({(0v` W)} (_ Y -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
9	3, 4, 8	3syl 20	. . 3 |- (W e. NrmCVec -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
10	9	adantl 388	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
11		0oo.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
12		0oo.0	. . . 4 |- Z = (U 0op W)
13	11, 2, 12	0ofval 8392	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z = (X X. {(0v` W)}))
14	13	feq1d 3616	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (Z:X-->Y <-> (X X. {(0v` W)}):X-->Y))
15	10, 14	mpbird 196	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:X-->Y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   (_ wss 2043  {csn 2405   X. cxp 3163  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  NrmCVeccnv 8155  Basecba 8157  0vcn0v 8159   0op c0o 8351

This theorem is referenced by:  0lno 8395  nmo0 8396  nmlno0lem 8398

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fo 3191  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-grp 7987  df-gid 7988  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-nm 8171  df-0o 8355

Copyright terms: Public domain